Calcule lim x 0 sin a xtan b x;

Passo 1

Beleza, temos que calcular o limite . Isso está relacionado à matéria de cálculo, mais especificamente aos limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como as funções seno e tangente se comportam perto de zero e usar algumas propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando limx 0 sin(x)x = 1 e limx 0 tan(x)x = 1 se aproxima de 0, e também se aproximam de . Isso significa que podemos usar as seguintes aproximações:
Essas são propriedades fundamentais dos limites das funções trigonométricas.

Passo 3

Agora, vamos ajustar nosso limite original para usar essas propriedades. Podemos reescrever a expressão da seguinte maneira:
sin(a x)tan(b x) = sin(a x)a x cdot a xb x cdot b xtan(b x)
Isso nos permite separar a expressão em partes que podemos lidar mais facilmente.

Passo 4

Vamos calcular o limite de cada parte individualmente:
  1. (usando a propriedade do seno)
  2. (os se cancelam)
  3. (usando a propriedade da tangente)

Passo 5

Multiplicando os limites obtidos:
1 cdot ab cdot 1 = ab
Portanto, o limite total é .

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados