Calcule.

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado está pedindo: queremos calcular o limite da função quando se aproxima de . O conteúdo aqui envolve limites e a regra de L’Hôpital, que é super útil quando temos uma forma indeterminada. Para resolver, vamos precisar da derivada da função tanto do numerador quanto do denominador.

Passo 2

Antes de aplicar a regra de L’Hôpital, vamos verificar se temos uma forma indeterminada quando se aproxima de . Se substituirmos por na expressão, temos:
Numerador:
Denominador:
Assim, obtemos a forma indeterminada . Agora sim, vamos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que, quando temos uma forma indeterminada, podemos derivar o numerador e o denominador.

Passo 3

Agora vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Numerador: A derivada de , usando a regra da cadeia, é .
Denominador: A derivada de é simplesmente .
Com isso, a nossa nova expressão usando a regra de L’Hôpital fica:

Passo 4

Agora que temos a nova expressão, vamos substituir por novamente:

Resposta

Portanto, o limite é .

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Calcule.
Seja definida em e seja um real dado. Suponha que L. Calcule
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Calcule.