Calcule.
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado está pedindo: queremos calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. O conteúdo aqui envolve limites e a regra de L’Hôpital, que é super útil quando temos uma forma indeterminada. Para resolver, vamos precisar da derivada da função tanto do numerador quanto do denominador.
Passo 2
Antes de aplicar a regra de L’Hôpital, vamos verificar se temos uma forma indeterminada quando
se aproxima de
. Se substituirmos
por
na expressão, temos:
Numerador:
Denominador:
Denominador:
Assim, obtemos a forma indeterminada
. Agora sim, vamos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que, quando temos uma forma indeterminada, podemos derivar o numerador e o denominador.
Passo 3
Agora vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Numerador: A derivada de
, usando a regra da cadeia, é
.
Denominador: A derivada de
é simplesmente
.
Com isso, a nossa nova expressão usando a regra de L’Hôpital fica:
Passo 4
Agora que temos a nova expressão, vamos substituir
por
novamente:
Resposta
Portanto, o limite
é
.
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Calcule.
Seja
definida em
e seja
um real dado. Suponha que
L. Calcule
Seja
definida
. Suponha que
. Calcule
Calcule.