Calcule. lim x p sen(x^2-p^2)x-p

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado está pedindo: queremos calcular o limite da função sen(x^2-p^2)x-p quando x se aproxima de p. O conteúdo aqui envolve limites e a regra de L’Hôpital, que é super útil quando temos uma forma indeterminada. Para resolver, vamos precisar da derivada da função tanto do numerador quanto do denominador.

Passo 2

Antes de aplicar a regra de L’Hôpital, vamos verificar se temos uma forma indeterminada quando x se aproxima de p. Se substituirmos x por p na expressão, temos:
Numerador: sen(p^2-p^2) = sen(0) = 0
Denominador: p - p = 0
Assim, obtemos a forma indeterminada 00. Agora sim, vamos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que, quando temos uma forma indeterminada, podemos derivar o numerador e o denominador.

Passo 3

Agora vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Numerador: A derivada de sen(x^2 - p^2), usando a regra da cadeia, é cos(x^2 - p^2) cdot 2x.
Denominador: A derivada de (x - p) é simplesmente 1.
Com isso, a nossa nova expressão usando a regra de L’Hôpital fica:
lim x p 2x cdot cos(x^2-p^2)1

Passo 4

Agora que temos a nova expressão, vamos substituir x por p novamente:
2p cdot cos(p^2-p^2)1 = 2p cdot cos(0) = 2p cdot 1 = 2p

Resposta

Portanto, o limite lim x p sen(x^2-p^2)x-p é 2p.

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