Seja f definida R. Suponha que lim x 0 f(x)x=1. Calcule lim x 0 f(x^2)x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite lim x 0 f(x^2)x. A informação importante que já nos foi dada é que lim x 0 f(x)x=1. Essa relação é fundamental porque nos diz como f(x) se comporta perto de x=0. Para resolver, vamos precisar usar essa informação de limite.

Passo 2

Sabemos que lim x 0 f(x)x = 1. Isso significa que, quando x está próximo de 0, a função f(x) se comporta como x, ou seja, podemos dizer que f(x) approx x quando x está bem perto de 0. Agora, precisamos focar no nosso limite: lim x 0 f(x^2)x.

Passo 3

Aqui, a ideia é fazer uma substituição. Vamos usar que quando x vai para 0, x^2 também vai para 0. Assim, podemos reescrever o limite:
lim x 0 f(x^2)x = lim y 0 f(y)raizy
onde fizemos a substituição y = x^2. Quando x vai para 0, y também vai para 0. Assim, nosso limite agora é lim y 0 f(y)raizy.

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite que conseguimos. Sabemos que f(y)y 1 quando y to 0. Observando nossa nova expressão:
f(y)raizy = f(y)y cdot yraizy = f(y)y cdot raizy
Sabemos que f(y)y 1, então substituindo isso, temos:
limy to 0 f(y)raizy = ( limy to 0 f(y)y ) cdot limy to 0 raizy = 1 cdot 0 = 0

Resposta

Portanto, temos que lim x 0 f(x^2)x = 0.

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