Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Essa é uma questão de Cálculo, mais especificamente de limites. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de derivadas e a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando se aproxima de . Calculando o numerador:
, então . Assim, o numerador tende a .
O denominador também tende a quando . Então, temos uma forma indeterminada , o que indica que podemos usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se ou , então podemos calcular o limite das derivadas:
, desde que esse limite exista.

Passo 4

Vamos identificar e :
Agora, vamos calcular as derivadas de e :

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital:

Passo 6

Agora, substituímos por na expressão:
Então:

Resposta

O limite é igual a -1.

Exercícios relacionados

Mostre que
Restrita apenas ao intervalo , quais são os pontos críticos de
Mostre que as retas tangentes à parábola em quaisquer dois pontos com coordenadas dadas por e devem se interceptar em um ponto cuja coordenada está no ponto médio de e (ou seja, ).
  1. Encontre a derivada da função usando a definição.
    a)