Calcule lim x pi e^sen(x)-1x-pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x pi e^sen(x)-1x-pi. Essa é uma questão de Cálculo, mais especificamente de limites. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de derivadas e a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando x se aproxima de pi. Calculando o numerador:
sen(pi) = 0, então e^sen(pi) = e^0 = 1. Assim, o numerador e^sen(x) - 1 tende a 0.
O denominador também tende a 0 quando x pi. Então, temos uma forma indeterminada 00, o que indica que podemos usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se limx to c f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty, então podemos calcular o limite das derivadas:
limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x), desde que esse limite exista.

Passo 4

Vamos identificar f(x) e g(x):
f(x) = e^sen(x) - 1
g(x) = x - pi
Agora, vamos calcular as derivadas de f(x) e g(x):
f'(x) = ddx e^sen(x) = e^sen(x) cdot cos(x)
g'(x) = ddx (x - pi) = 1

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital:
lim x pi e^sen(x)-1x-pi = lim x pi e^sen(x) cdot cos(x)1

Passo 6

Agora, substituímos x por pi na expressão:
sen(pi) = 0
cos(pi) = -1
Então:
e^sen(pi) cdot cos(pi) = e^0 cdot (-1) = 1 cdot (-1) = -1

Resposta

O limite é igual a -1.

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