Mostre que
d/dx (sen^2(x)/(1+cot(x)) + cos^2(x)/(1+tan(x))) = -cos(2x)

Passo 1

Beleza, então a gente tem que mostrar que a derivada da expressão em relação a é igual a . Aqui a matéria envolve derivadas de funções trigonométricas e manipulação algébrica. Vamos precisar lembrar das derivadas básicas de seno, cosseno, tangente e cotangente, além de simplificar expressões trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da derivada. Sabemos que e . Vamos substituir essas identidades na expressão:

Passo 3

Agora, simplificamos os denominadores. Para fazer isso, vamos encontrar um denominador comum em cada fração:
Isso simplifica para:

Passo 4

Podemos fatorar e no numerador:
Lembrando que , então:

Passo 5

Usando a identidade trigonométrica , a expressão fica:
Então, a expressão original dentro da derivada simplifica para .

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a . A derivada de 1 é 0, e a derivada de pode ser encontrada usando a regra do produto:
Então,

Passo 7

Reconhecemos que pela identidade trigonométrica do cosseno do ângulo duplo. Portanto,

Resposta

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