Mostre que
Passo 1
Beleza, então a gente tem que mostrar que a derivada da expressão
em relação a
é igual a
. Aqui a matéria envolve derivadas de funções trigonométricas e manipulação algébrica. Vamos precisar lembrar das derivadas básicas de seno, cosseno, tangente e cotangente, além de simplificar expressões trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da derivada. Sabemos que
e
. Vamos substituir essas identidades na expressão:
Passo 3
Agora, simplificamos os denominadores. Para fazer isso, vamos encontrar um denominador comum em cada fração:
Isso simplifica para:
Passo 4
Podemos fatorar
e
no numerador:
Lembrando que
, então:
Passo 5
Usando a identidade trigonométrica
, a expressão fica:
Então, a expressão original dentro da derivada simplifica para
.
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
. A derivada de 1 é 0, e a derivada de
pode ser encontrada usando a regra do produto:
Então,
Passo 7
Reconhecemos que
pela identidade trigonométrica do cosseno do ângulo duplo. Portanto,
Resposta
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Restrita apenas ao intervalo
, quais são os pontos críticos de
Considerando
, informe em quais intervalos
é crescente.
Calcule
.
Mostre que as retas tangentes à parábola
em quaisquer dois pontos com coordenadas
dadas por
e
devem se interceptar em um ponto cuja coordenada
está no ponto médio de
e
(ou seja,
).