Mostre que as retas tangentes à parábola y = a x^2 + b x + c em quaisquer dois pontos com coordenadas x dadas por p e q devem se interceptar em um ponto cuja coordenada x está no ponto médio de p e q (ou seja, x = (p + q) / 2 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre parábolas e suas retas tangentes. Precisamos mostrar que, se pegarmos duas retas que tocam a parábola em dois pontos com coordenadas e , essas retas vão se encontrar em um ponto cujo é o ponto médio entre e . Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar a equação da reta tangente a uma parábola em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a reta tangente a uma parábola em um ponto qualquer. Dada a função , a derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A derivada de em relação a é:
Essa expressão nos dá a inclinação da reta tangente no ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente na coordenada . Primeiro, calculamos a inclinação usando a derivada:
Em seguida, encontramos o valor de no ponto :
Com a inclinação e o ponto , usamos a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo e :

Passo 4

Simplificamos a equação da reta tangente em :
Expandindo:
Simplificando os termos:

Passo 5

Fazemos o mesmo para a reta tangente em :

Passo 6

Agora, para encontrar o ponto de interseção das duas retas tangentes, igualamos as duas expressões de :
Simplificamos cancelando os :
Leva:
Fatorando :
Simplificando:
Se , podemos dividir ambos os lados por :

Resposta

As retas tangentes se interceptam num ponto com coordenada , que é o ponto médio entre e .

Exercícios relacionados