Mostre que as retas tangentes à parábola
em quaisquer dois pontos com coordenadas
dadas por
e
devem se interceptar em um ponto cuja coordenada
está no ponto médio de
e
(ou seja,
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre parábolas e suas retas tangentes. Precisamos mostrar que, se pegarmos duas retas que tocam a parábola
em dois pontos com coordenadas
e
, essas retas vão se encontrar em um ponto cujo
é o ponto médio entre
e
. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar a equação da reta tangente a uma parábola em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a reta tangente a uma parábola em um ponto qualquer. Dada a função
, a derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. A derivada de
em relação a
é:
Essa expressão nos dá a inclinação da reta tangente no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente na coordenada
. Primeiro, calculamos a inclinação usando a derivada:
Em seguida, encontramos o valor de
no ponto
:
Com a inclinação
e o ponto
, usamos a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo
e
:
Passo 4
Simplificamos a equação da reta tangente em
:
Expandindo:
Simplificando os termos:
Passo 5
Fazemos o mesmo para a reta tangente em
:
Passo 6
Agora, para encontrar o ponto de interseção das duas retas tangentes, igualamos as duas expressões de
:
Simplificamos cancelando os
:
Leva:
Fatorando
:
Simplificando:
Se
, podemos dividir ambos os lados por
:
Resposta
As retas tangentes se interceptam num ponto com coordenada
, que é o ponto médio entre
e
.
Exercícios relacionados
Calcule
.
Mostre que
- Encontre a derivada da função usando a definição.
a)
- Encontre
, sabendo que .