Restrita apenas ao intervalo , quais são os pontos críticos de

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os pontos críticos da função no intervalo . Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas, já que pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A derivada de uma função que é uma fração, como essa, usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos , a derivada é .

Passo 3

Aplicando a regra do quociente à nossa função:
Então:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
Então:

Passo 5

Os pontos críticos ocorrem onde ou onde não existe. Observando o denominador , vemos que ele nunca é zero porque é sempre positivo. Portanto, só precisamos resolver:
Multiplicando por -1 para simplificar:

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e . Substituindo:
Portanto:

Passo 7

Agora temos dois pontos críticos: e . Precisamos verificar se eles estão dentro do intervalo . Ou seja:
  • Se , então é um ponto crítico no intervalo.
  • Se , então é um ponto crítico no intervalo.

Resposta

Os pontos críticos da função no intervalo são e , desde que esses valores estejam dentro do intervalo considerado.

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Mostre que
Calcule .