Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos lidando com limites de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades do seno e do cosseno e como elas se comportam perto de certos pontos, como .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que está se aproximando de vindo pela esquerda, ou seja, valores de um pouco menores que .

Passo 3

Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. Sabemos que:
Então, substituindo , teríamos . Mas precisamos verificar o comportamento próximo a , não exatamente em .

Passo 4

Para entender o comportamento perto de , podemos usar as identidades trigonométricas de ângulos próximos a . Sabemos que para próximo a , podemos escrever , onde é um pequeno número positivo que tende a .

Passo 5

Substituindo na expressão original:
Usando as identidades trigonométricas:
Portanto, a expressão fica:

Passo 6

Agora, vamos analisar quando . Sabemos que:
  • (quando é pequeno)
  • (usando a aproximação da série de Taylor)
Substituindo essas aproximações na expressão:

Passo 7

Simplificando o denominador:
Então, a expressão fica:
Para , o termo é negligenciável, então:
E como , temos:

Resposta

Portanto, o limite é .

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Mostre que para todo .
Mostre que para todo .
Determine os seguintes limites com o auxílio da Regra de L ,
.