Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Aqui, estamos lidando com limites de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades do seno e do cosseno e como elas se comportam perto de certos pontos, como
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que
está se aproximando de
vindo pela esquerda, ou seja, valores de
um pouco menores que
.
Passo 3
Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. Sabemos que:
Então, substituindo
, teríamos
. Mas precisamos verificar o comportamento próximo a
, não exatamente em
.
Passo 4
Para entender o comportamento perto de
, podemos usar as identidades trigonométricas de ângulos próximos a
. Sabemos que para
próximo a
, podemos escrever
, onde
é um pequeno número positivo que tende a
.
Passo 5
Substituindo
na expressão original:
Usando as identidades trigonométricas:
Portanto, a expressão fica:
Passo 6
Agora, vamos analisar quando
. Sabemos que:
-
(quando é pequeno) -
(usando a aproximação da série de Taylor)
Substituindo essas aproximações na expressão:
Passo 7
Simplificando o denominador:
Então, a expressão fica:
Para
, o termo
é negligenciável, então:
E como
, temos:
Resposta
Portanto, o limite é
.
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Mostre que para todo
.
Mostre que
para todo
.
Determine os seguintes limites com o auxílio da Regra de L
,