Calcule lim x pi^- sen x1-cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x pi^- sen x1-cos x. Aqui, estamos lidando com limites de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades do seno e do cosseno e como elas se comportam perto de certos pontos, como x = pi.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa x pi^-. Isso quer dizer que x está se aproximando de pi vindo pela esquerda, ou seja, valores de x um pouco menores que pi.

Passo 3

Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. Sabemos que:
  • sen pi = 0
  • cos pi = -1
Então, substituindo x = pi, teríamos 01 - (-1) = 02 = 0. Mas precisamos verificar o comportamento próximo a pi, não exatamente em pi.

Passo 4

Para entender o comportamento perto de pi, podemos usar as identidades trigonométricas de ângulos próximos a pi. Sabemos que para x próximo a pi, podemos escrever x = pi - h, onde h é um pequeno número positivo que tende a 0.

Passo 5

Substituindo x = pi - h na expressão original:
sen (pi - h)1 - cos (pi - h)
Usando as identidades trigonométricas:
  • sen (pi - h) = sen h
  • cos (pi - h) = -cos h
Portanto, a expressão fica:
sen h1 - (-cos h) = sen h1 + cos h

Passo 6

Agora, vamos analisar quando h 0^+. Sabemos que:
  • sen h approx h (quando h é pequeno)
  • cos h approx 1 - h^22 (usando a aproximação da série de Taylor)
Substituindo essas aproximações na expressão:
h1 + (1 - h^22) = h2 - h^22

Passo 7

Simplificando o denominador:
2 - h^22 = 2(1 - h^24)
Então, a expressão fica:
h2(1 - h^24) = h2 cdot 11 - h^24
Para h 0, o termo h^24 é negligenciável, então:
h2 cdot 1 = h2
E como h 0, temos:
h2 0

Resposta

Portanto, o limite é 0.

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