Determine os seguintes limites com o auxílio da Regra de L lim x +infty x^1 / ln x,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: .
Aqui, a gente vai usar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica para calcular limites que resultam em formas indeterminadas como ou . Vamos precisar também de propriedades de logaritmos e exponenciais para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar o cálculo tirando o logaritmo natural dos dois lados. Vamos chamar o limite de L = limx +infty x^1 / ln x :
ln L = ln ( limx +infty x^1 / ln x ) = limx +infty ln ( x^1 / ln x )
Então, aplicando o logaritmo natural:
ln L = limx +infty ln xln x = limx +infty 1 = 1
Usamos a propriedade do logaritmo que diz :

Passo 3

Agora que temos L = e^ln L = e^1 = e , para achar , vamos usar a função exponencial, que é a inversa do logaritmo natural:

Resposta

O limite é .

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