Mostre que para todo .

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão pede. A gente precisa mostrar que, para todo número positivo , a função cosseno satisfaz a desigualdade . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries de Taylor e desigualdades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série de Taylor para a função cosseno. A série de Taylor expande uma função em uma soma infinita de termos envolvendo potências da variável. Para o cosseno, a expansão em torno de é:
Essa expressão nos mostra como o cosseno se comporta para valores próximos de zero.

Passo 3

Agora, vamos focar nos dois primeiros termos dessa série:
Mas a série completa tem mais termos, que alternam sinais. Isso significa que, após o termo , vem , e assim por diante.

Passo 4

Observando os sinais na série, percebemos que os termos seguintes a são positivos. Isso indica que:
Porque estamos adicionando termos positivos após , o valor de será maior que .

Passo 5

Para reforçar, vamos analisar o comportamento da função . Calculando :
Usando a série de Taylor, já vimos que , então:
Os termos seguintes são todos positivos ou se anulam, o que confirma que para .

Resposta

Portanto, mostramos que para todo , .

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Mostre que para todo .
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de no intervalo dado.
Calcule
Determine os seguintes limites com o auxílio da Regra de L ,