Mostre que para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão pede. A gente precisa mostrar que, para todo número positivo
, a função cosseno satisfaz a desigualdade
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries de Taylor e desigualdades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série de Taylor para a função cosseno. A série de Taylor expande uma função em uma soma infinita de termos envolvendo potências da variável. Para o cosseno, a expansão em torno de
é:
Essa expressão nos mostra como o cosseno se comporta para valores próximos de zero.
Passo 3
Agora, vamos focar nos dois primeiros termos dessa série:
Mas a série completa tem mais termos, que alternam sinais. Isso significa que, após o termo
, vem
, e assim por diante.
Passo 4
Observando os sinais na série, percebemos que os termos seguintes a
são positivos. Isso indica que:
Porque estamos adicionando termos positivos após
, o valor de
será maior que
.
Passo 5
Para reforçar, vamos analisar o comportamento da função
. Calculando
:
Usando a série de Taylor, já vimos que
, então:
Os termos seguintes são todos positivos ou se anulam, o que confirma que
para
.
Resposta
Portanto, mostramos que para todo
,
.
Exercícios relacionados
Mostre que
para todo
.
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
Calcule
Determine os seguintes limites com o auxílio da Regra de L
,