Mostre que
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que
é maior que
para todo
entre
e
. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente sobre funções trigonométricas e análise de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como a tangente se comporta nesse intervalo e usar um pouco de derivadas para comparar as duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções envolvidas. Sabemos que
. Para
, o cosseno de
é positivo, então
também é positiva. Além disso, sabemos que
e
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos comparar as duas funções
e
. Queremos mostrar que
nesse intervalo. Para isso, vamos analisar a função
e provar que
para
.
Passo 4
Para analisar
, vamos olhar para sua derivada. Derivando
, temos:
Sabemos que
, então:
Como
é sempre positivo para
, isso significa que
nesse intervalo.
Passo 5
Como a derivada
é positiva, a função
está crescendo nesse intervalo. Agora, vamos analisar seu valor em
:
Como
está aumentando a partir de
e nunca para de aumentar até
, isso significa que
para todo
.
Resposta
Portanto, mostramos que
para todo
.