Mostre que tan x > x para todo 0 < x < pi/2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que é maior que para todo entre e . A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente sobre funções trigonométricas e análise de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como a tangente se comporta nesse intervalo e usar um pouco de derivadas para comparar as duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções envolvidas. Sabemos que . Para , o cosseno de é positivo, então também é positiva. Além disso, sabemos que e tende ao infinito.

Passo 3

Vamos comparar as duas funções e . Queremos mostrar que nesse intervalo. Para isso, vamos analisar a função e provar que para .

Passo 4

Para analisar , vamos olhar para sua derivada. Derivando , temos:
Sabemos que , então:
Como é sempre positivo para , isso significa que nesse intervalo.

Passo 5

Como a derivada é positiva, a função está crescendo nesse intervalo. Agora, vamos analisar seu valor em :
Como está aumentando a partir de e nunca para de aumentar até , isso significa que para todo .

Resposta

Portanto, mostramos que para todo .

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