Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas, especificamente tangente e secante ao quadrado. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que é muito útil quando temos uma função dentro de outra.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Note que
pode ser escrita como
e
é igual a
. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 4
Substituindo
e
na integral, ficamos com:
Passo 5
Agora, vamos simplificar
. Sabemos que
e
, então:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Para resolver
, vamos usar outra substituição. Vamos definir:
Derivando ambos os lados:
Passo 7
Observamos que na nossa integral, temos
, que pode ser reescrita como
. Mas isso complica um pouco, então vamos tentar outra abordagem. Vamos integrar diretamente:
Sabemos que a derivada de
é
, então podemos usar integração por partes ou reconhecer que a integral é da forma
.
Passo 8
De fato, podemos notar que:
Onde
é a constante de integração. Multiplicando pelo 2 que tínhamos antes:
Passo 9
Agora, substituindo
de volta:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
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