Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas, especificamente tangente e secante ao quadrado. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que é muito útil quando temos uma função dentro de outra.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Note que pode ser escrita como e é igual a . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 4

Substituindo e na integral, ficamos com:

Passo 5

Agora, vamos simplificar . Sabemos que e , então:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Para resolver , vamos usar outra substituição. Vamos definir:
Derivando ambos os lados:

Passo 7

Observamos que na nossa integral, temos , que pode ser reescrita como . Mas isso complica um pouco, então vamos tentar outra abordagem. Vamos integrar diretamente:
Sabemos que a derivada de é , então podemos usar integração por partes ou reconhecer que a integral é da forma .

Passo 8

De fato, podemos notar que:
Onde é a constante de integração. Multiplicando pelo 2 que tínhamos antes:

Passo 9

Agora, substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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