integral tg(theta2) sec ^2(theta2) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral tan(theta2) sec^2(theta2) dtheta. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas, especificamente tangente e secante ao quadrado. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que é muito útil quando temos uma função dentro de outra.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Note que tan(theta2) pode ser escrita como sin(theta2)cos(theta2) e sec^2(theta2) é igual a 1cos^2(theta2). Então, a integral fica:
integral sin(theta2)cos(theta2) cdot 1cos^2(theta2) dtheta = integral sin(theta2)cos^3(theta2) dtheta

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = theta2
Então, derivando ambos os lados em relação a theta, temos:
du = 12 dtheta Rightarrow dtheta = 2 du

Passo 4

Substituindo u e dtheta na integral, ficamos com:
integral sin ucos^3 u cdot 2 du = 2 integral sin ucos^3 u du

Passo 5

Agora, vamos simplificar sin ucos^3 u. Sabemos que tan u = sin ucos u e sec u = 1cos u, então:
sin ucos^3 u = tan u cdot sec^2 u
Portanto, a integral fica:
2 integral tan u cdot sec^2 u du

Passo 6

Para resolver integral tan u cdot sec^2 u du, vamos usar outra substituição. Vamos definir:
v = sec u
Derivando ambos os lados:
dv = sec u tan u du

Passo 7

Observamos que na nossa integral, temos tan u cdot sec^2 u du, que pode ser reescrita como sec u cdot (tan u cdot sec u) du = sec u cdot dv. Mas isso complica um pouco, então vamos tentar outra abordagem. Vamos integrar diretamente:
integral tan u cdot sec^2 u du
Sabemos que a derivada de tan u é sec^2 u, então podemos usar integração por partes ou reconhecer que a integral é da forma f(x)f'(x).

Passo 8

De fato, podemos notar que:
integral tan u cdot sec^2 u du = 12 sec^2 u + C
Onde C é a constante de integração. Multiplicando pelo 2 que tínhamos antes:
2 cdot 12 sec^2 u = sec^2 u

Passo 9

Agora, substituindo u = theta2 de volta:
sec^2 (theta2) + C

Resposta

A integral integral tan(theta2) sec^2(theta2) dtheta é igual a sec^2(theta2) + C, onde C é a constante de integração.

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