Calcule
, caso exista e represente graficamente.
Passo 1
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Esse exercício envolve entender os limites de funções trigonométricas, especificamente a tangente. Para resolver, vamos precisar conhecer as definições de seno, cosseno e tangente, além de saber como analisar o comportamento dessas funções perto de pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a tangente de um ângulo pode ser expressa como a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo:
Queremos calcular:
Passo 3
Vamos analisar os valores de
e
quando
se aproxima de
:
Então, estamos lidando com uma forma indeterminada de
. Para entender o comportamento do limite, precisamos considerar os limites laterais, ou seja, quando
se aproxima de
pela esquerda (
) e pela direita (
).
Passo 4
Analisando
(pela esquerda):
- À medida que
se aproxima de pela esquerda, se aproxima de de forma positiva. - Portanto,
tende a . - Logo,
.
Analisando
(pela direita):
- À medida que
se aproxima de pela direita, se aproxima de de forma negativa. - Portanto,
tende a . - Logo,
.
Passo 5
Como os limites laterais são diferentes (
pela esquerda e
pela direita), concluímos que o limite de
quando
se aproxima de
não existe.
Grficamente, a função tangente possui uma assíntota vertical em
, onde o gráfico se aproxima de
pelo lado esquerdo e de
pelo lado direito.
Resposta
O limite
não existe porque os limites laterais são divergentes.
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Dadas as funções abaixo determine suas assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico:
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Usando a definição de limite prove:
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