Calcule , caso exista e represente graficamente.

Passo 1

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Esse exercício envolve entender os limites de funções trigonométricas, especificamente a tangente. Para resolver, vamos precisar conhecer as definições de seno, cosseno e tangente, além de saber como analisar o comportamento dessas funções perto de pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a tangente de um ângulo pode ser expressa como a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo:
Queremos calcular:

Passo 3

Vamos analisar os valores de e quando se aproxima de :
Então, estamos lidando com uma forma indeterminada de . Para entender o comportamento do limite, precisamos considerar os limites laterais, ou seja, quando se aproxima de pela esquerda ( ) e pela direita ( ).

Passo 4

Analisando (pela esquerda):
  • À medida que se aproxima de pela esquerda, se aproxima de de forma positiva.
  • Portanto, tende a .
  • Logo, .
Analisando (pela direita):
  • À medida que se aproxima de pela direita, se aproxima de de forma negativa.
  • Portanto, tende a .
  • Logo, .

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes ( pela esquerda e pela direita), concluímos que o limite de quando se aproxima de não existe.
Grficamente, a função tangente possui uma assíntota vertical em , onde o gráfico se aproxima de pelo lado esquerdo e de pelo lado direito.

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais são divergentes.

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Dadas as funções abaixo determine suas assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico:
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Usando a definição de limite prove:
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