Calcule lim x pi2 tg(x), caso exista e represente graficamente.

Passo 1

Vamos calcular o limite de tan(x) quando x se aproxima de pi2. Esse exercício envolve entender os limites de funções trigonométricas, especificamente a tangente. Para resolver, vamos precisar conhecer as definições de seno, cosseno e tangente, além de saber como analisar o comportamento dessas funções perto de pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a tangente de um ângulo pode ser expressa como a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo:
tan(x) = sin(x)cos(x)
Queremos calcular:
limx pi2 tan(x) = limx pi2 sin(x)cos(x)

Passo 3

Vamos analisar os valores de sin(x) e cos(x) quando x se aproxima de pi2:
  • sin(pi2) = 1
  • cos(pi2) = 0
Então, estamos lidando com uma forma indeterminada de 10. Para entender o comportamento do limite, precisamos considerar os limites laterais, ou seja, quando x se aproxima de pi2 pela esquerda ( x pi2^-) e pela direita ( x pi2^+).

Passo 4

Analisando x pi2^- (pela esquerda):
  • À medida que x se aproxima de pi2 pela esquerda, cos(x) se aproxima de 0 de forma positiva.
  • Portanto, 1cos(x) tende a +infty.
  • Logo, tan(x) +infty.
Analisando x pi2^+ (pela direita):
  • À medida que x se aproxima de pi2 pela direita, cos(x) se aproxima de 0 de forma negativa.
  • Portanto, 1cos(x) tende a -infty.
  • Logo, tan(x) -infty.

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes ( +infty pela esquerda e -infty pela direita), concluímos que o limite de tan(x) quando x se aproxima de pi2 não existe.
Grficamente, a função tangente possui uma assíntota vertical em x = pi2, onde o gráfico se aproxima de +infty pelo lado esquerdo e de -infty pelo lado direito.

Resposta

O limite limx pi2 tan(x) não existe porque os limites laterais são divergentes.

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