Dadas as funções abaixo determine suas assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico: f(x)=(x^3+1)/x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar as assíntotas vertical e horizontal da função e esboçar o seu gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções polinomiais. Vamos precisar identificar onde a função não está definida (para assíntotas verticais) e analisar o comportamento dela quando vai para o infinito ou menos infinito (para assíntotas horizontais).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos pontos onde o denominador da fração é zero, já que a função não está definida nesses valores. Então, resolvemos:
Portanto, temos uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o comportamento da função quando tende para e para .
Calculando o limite quando vai para :
E para tendendo a :
Como os limites tendem para infinito ou menos infinito, não há assíntotas horizontais.

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e não possui assíntotas horizontais. O gráfico da função foi esboçado considerando essas informações.

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