Dadas as funções abaixo determine suas assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico: f(x) = (x^2 - 1) / (2x + 4)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as assíntotas vertical e horizontal da função e esboçar seu gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais e assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador da função é igual a zero, pois a função tende ao infinito nesses pontos.
Vamos resolver :
Então, existe uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos determinar as assíntotas horizontais. As assíntotas horizontais são determinadas observando o comportamento da função quando tende ao infinito.
Para funções racionais, com o grau do numerador maior que o grau do denominador, não há assíntota horizontal, mas sim uma assíntota oblíqua. Aqui, o grau do numerador ( ) é maior que o grau do denominador ( ), então vamos encontrar a assíntota oblíqua realizando a divisão polinomial.
Dividindo por :
Quando tende ao infinito, o termo tende a zero, então a assíntota oblíqua é:

Passo 4

Para esboçar o gráfico, consideramos as seguintes informações:
  • Assíntota vertical em .
  • Assíntota oblíqua em .
  • Pontos onde a função cruza os eixos:
    • Eixo y ( ):
      Então, passa pelo ponto .
    • Eixo x ( ):
      Então, passa pelos pontos e .

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota oblíqua em . Além disso, o gráfico passa pelos pontos , e . Com essas informações, é possível esboçar o gráfico da função respeitando as assíntotas e os pontos determinados.

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