Dadas as funções abaixo determine suas assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar as assíntotas vertical e horizontal da função
e esboçar seu gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais e assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador da função é igual a zero, pois a função tende ao infinito nesses pontos.
Vamos resolver
:
Então, existe uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora, vamos determinar as assíntotas horizontais. As assíntotas horizontais são determinadas observando o comportamento da função quando
tende ao infinito.
Para funções racionais, com o grau do numerador maior que o grau do denominador, não há assíntota horizontal, mas sim uma assíntota oblíqua. Aqui, o grau do numerador (
) é maior que o grau do denominador (
), então vamos encontrar a assíntota oblíqua realizando a divisão polinomial.
Dividindo
por
:
Quando
tende ao infinito, o termo
tende a zero, então a assíntota oblíqua é:
Passo 4
Para esboçar o gráfico, consideramos as seguintes informações:
-
Assíntota vertical em
. -
Assíntota oblíqua em
. -
Pontos onde a função cruza os eixos:
-
Eixo y (
): Então, passa pelo ponto. -
Eixo x (
): Então, passa pelos pontose .
-
Resposta
A função
possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota oblíqua em
. Além disso, o gráfico passa pelos pontos
,
e
. Com essas informações, é possível esboçar o gráfico da função respeitando as assíntotas e os pontos determinados.