Usando a definição de limite prove: lim x 2 2 x+1=5

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo que pede pra provar que o limite de quando se aproxima de 2 é igual a 5. Vamos usar a definição de limite, que é um conceito fundamental em derivadas e continuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de limite usando e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite usando e . Dizemos que se, para todo , existe um tal que, sempre que , então . Basicamente, isso quer dizer que podemos fazer tão próximo de quanto quisermos, escolhendo suficientemente perto de .

Passo 3

Aplicando essa definição ao nosso caso, queremos provar que . Então, vamos assumir que temos um qualquer e precisamos encontrar um que satisfaça a condição.

Passo 4

Vamos começar calculando |2x + 1 - 5| = |2x - 4| = 2|x - 2| :
2|x - 2| < epsilon
Queremos que isso seja menor que :

Passo 5

Agora, vamos isolar |x - 2| < epsilon2 :
Então, se a gente escolher , sempre que , vamos ter .

Passo 6

Portanto, para todo , podemos definir . Isso garante que sempre que , então , provando que o limite é realmente 5.

Resposta

Com a escolha de , provamos que usando a definição de limite.

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