Usando a definição de limite prove:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo que pede pra provar que o limite de
quando
se aproxima de 2 é igual a 5. Vamos usar a definição de limite, que é um conceito fundamental em derivadas e continuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de limite usando
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite usando
e
. Dizemos que
se, para todo
, existe um
tal que, sempre que
, então
. Basicamente, isso quer dizer que podemos fazer
tão próximo de
quanto quisermos, escolhendo
suficientemente perto de
.
Passo 3
Aplicando essa definição ao nosso caso, queremos provar que
. Então, vamos assumir que temos um
qualquer e precisamos encontrar um
que satisfaça a condição.
Passo 4
Vamos começar calculando
:
Queremos que isso seja menor que
:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Então, se a gente escolher
, sempre que
, vamos ter
.
Passo 6
Portanto, para todo
, podemos definir
. Isso garante que sempre que
, então
, provando que o limite é realmente 5.
Resposta
Com a escolha de
, provamos que
usando a definição de limite.
Exercícios relacionados
Calcule
, caso exista e represente graficamente.
Dadas as funções abaixo determine suas assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico:
Usando a definição de limite prove:
Usando a definição de limite prove: