Usando a definição de limite prove:

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo que pede pra provar que o limite de quando se aproxima de 2 é igual a 5. Vamos usar a definição de limite, que é um conceito fundamental em derivadas e continuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de limite usando e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite usando e . Dizemos que se, para todo , existe um tal que, sempre que , então . Basicamente, isso quer dizer que podemos fazer tão próximo de quanto quisermos, escolhendo suficientemente perto de .

Passo 3

Aplicando essa definição ao nosso caso, queremos provar que . Então, vamos assumir que temos um qualquer e precisamos encontrar um que satisfaça a condição.

Passo 4

Vamos começar calculando :
Queremos que isso seja menor que :

Passo 5

Agora, vamos isolar :
Então, se a gente escolher , sempre que , vamos ter .

Passo 6

Portanto, para todo , podemos definir . Isso garante que sempre que , então , provando que o limite é realmente 5.

Resposta

Com a escolha de , provamos que usando a definição de limite.

Exercícios relacionados

Calcule , caso exista e represente graficamente.
Dadas as funções abaixo determine suas assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico:
Usando a definição de limite prove:
Usando a definição de limite prove: