Suponha que f seja uma função que satisfaça a equação
f(x+y)=f(x)+f(y)+x^2 y+x y^2
para todos os números reais x e y. Suponha também que
lim x 0 f(x)x=1
Encontre f^prime(0)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função f(x + y) = f(x) + f(y) + x^2 y + x y^2 que satisfaz a equação funcional:
limx 0 f(x)x = 1
para todos os números reais e . Além disso, sabemos que:
Nosso objetivo é encontrar a derivada de em , ou seja, . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções polinomiais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de f(x + 0) = f(x) + f(0) + x^2 cdot 0 + x cdot 0^2 . Para isso, substituímos f(x) = f(x) + f(0) na equação funcional:
Simplificando:
Isso implica que .

Passo 3

Agora, vamos supor que f(x) = a x + b x^2 + c x^3 seja um polinômio. Como temos termos de e na equação funcional, é razoável assumir que seja um polinômio de terceiro grau:
Vamos substituir essa forma na equação funcional e comparar os coeficientes.

Passo 4

Substituindo f(x + y) = a(x + y) + b(x + y)^2 + c(x + y)^3 na equação:
a x + a y + b(x^2 + 2xy + y^2) + c(x^3 + 3x^2 y + 3x y^2 + y^3)
Expandindo:
a x + a y + b x^2 + 2b x y + b y^2 + c x^3 + 3c x^2 y + 3c x y^2 + c y^3
Isso resulta em:
f(x) + f(y) + x^2 y + x y^2 = a x + b x^2 + c x^3 + a y + b y^2 + c y^3 + x^2 y + x y^2
Comparando com o lado direito da equação funcional:

Passo 5

Vamos igualar os coeficientes de termos semelhantes:
  • Termo a = a (já está ok) e b = b (já está ok) :
    2b = 0 Rightarrow b = 0 áá
  • Termo c = c (já está ok) e 3c = 1 Rightarrow c = 13 :
    3c = 1 Rightarrow c = 13 (coerente) áá
  • Termo :
  • Termo e :
    áá
  • Termo :
  • Termo :

Passo 6

Agora que encontramos f(x) = a x + 13 x^3 e limx 0 f(x)x = 1 , nossa função fica:
limx 0 a x + 13 x^3x = limx 0 ( a + 13 x^2 ) = a = 1
Vamos usar a outra informação dada:
Substituindo :
Então, .

Passo 7

Finalmente, nossa função é:
f(x) = x + 13 x^3
Vamos calcular a derivada de f'(x) = 1 + x^2 :
f'(0) = 1 + 0^2 = 1
Portanto, avaliando em :

Resposta

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