Suponha que
seja uma função que satisfaça a equação
para todos os números reais
e
. Suponha também que
Encontre
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que satisfaz a equação funcional:
para todos os números reais
e
. Além disso, sabemos que:
Nosso objetivo é encontrar a derivada de
em
, ou seja,
. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções polinomiais e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o valor de
. Para isso, substituímos
na equação funcional:
Simplificando:
Isso implica que
.
Passo 3
Agora, vamos supor que
seja um polinômio. Como temos termos de
e
na equação funcional, é razoável assumir que
seja um polinômio de terceiro grau:
Vamos substituir essa forma na equação funcional e comparar os coeficientes.
Passo 4
Substituindo
na equação:
Expandindo:
Isso resulta em:
Comparando com o lado direito da equação funcional:
Passo 5
Vamos igualar os coeficientes de termos semelhantes:
-
Termo
e : -
Termo
e : -
Termo
: -
Termo
e : -
Termo
: -
Termo
:
Passo 6
Agora que encontramos
e
, nossa função fica:
Vamos usar a outra informação dada:
Substituindo
:
Então,
.
Passo 7
Finalmente, nossa função é:
Vamos calcular a derivada de
:
Portanto, avaliando em
: