Calcule lim x 0 raiz1+x-1raiz[3]1+x-1.

Passo 1

Então, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites, especificamente explorando propriedades de funções que envolvem radiciação. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir expressões como e quando está bem próximo de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as expressões no numerador e no denominador usando a expansão binomial para números próximos de 1. A ideia é aproximar e quando é pequeno.

Passo 3

A expansão binomial para (1 + x)^k approx 1 + kx , com raiz1+x = (1 + x)^1/2 approx 1 + 12x sendo uma fração, quando raiz[3]1+x = (1 + x)^1/3 approx 1 + 13x é pequeno, é aproximadamente:
Vamos aplicar isso para as duas raízes:
  • Para a raiz quadrada ( ):
  • Para a raiz cúbica ( ):

Passo 4

Agora, substituímos essas aproximações na expressão original do limite:
raiz1+x-1raiz[3]1+x-1 approx (1 + 12x) - 1(1 + 13x) - 1 = 12x13x

Passo 5

Simplificando a fração:
12x13x = 12 div 13 = 12 times 3 = 32

Resposta

O limite é .

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