Calcule lim x 3 raizx^2-2 x+6-raizx^2+2 x-6x^2-4 x+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
limx to 3 raizx^2 - 2x + 6 - raizx^2 + 2x - 6x^2 - 4x + 3
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções radicais (raízes quadradas) e polinomiais. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de cálculo, como a regra de L’Hôpital, que nos ajuda quando temos indeterminações como 0/0.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz3^2 - 2cdot3 + 6 - raiz3^2 + 2cdot3 - 6 = raiz9 - 6 + 6 - raiz9 + 6 - 6 = raiz9 - raiz9 = 3 - 3 = 0 diretamente na expressão. Isso nos ajuda a identificar se temos uma forma indeterminada.
Calculando o numerador:
3^2 - 4cdot3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0
Calculando o denominador:
Então, ao substituir , tanto o numerador quanto o denominador dão 0, ou seja, temos uma forma indeterminada .

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) , podemos usar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que:
desde que o limite à direita exista.
Então, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Vamos começar derivando o numerador:
f(x) = raizx^2 - 2x + 6 - raizx^2 + 2x - 6
A derivada de f'(x) = 2x - 22raizx^2 - 2x + 6 - 2x + 22raizx^2 + 2x - 6 é f'(x) = x - 1raizx^2 - 2x + 6 - x + 1raizx^2 + 2x - 6 . Aplicando isso:
g(x) = x^2 - 4x + 3
g'(x) = 2x - 4
Agora, derivamos o denominador:

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:
limx to 3 f(x)g(x) = limx to 3 f'(x)g'(x) = limx to 3 x - 1raizx^2 - 2x + 6 - x + 1raizx^2 + 2x - 62x - 4
Agora, substituímos raiz3^2 - 2cdot3 + 6 = raiz9 - 6 + 6 = raiz9 = 3 nessa nova expressão:
Calculando cada parte:
raiz3^2 + 2cdot3 - 6 = raiz9 + 6 - 6 = raiz9 = 3
2cdot3 - 4 = 6 - 4 = 2
3 - 13 - 3 + 132 = 23 - 432 = -232 = -23 cdot 12 = -13
Substituindo:

Resposta

limx to 3 raizx^2 - 2x + 6 - raizx^2 + 2x - 6x^2 - 4x + 3 = -13

Exercícios relacionados