Calcule
, onde
é uma constante.
Passo 1
Beleza, vamos entender direitinho o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
se aproxima de zero da expressão
, onde
é uma constante. Isso está relacionado ao estudo de limites em Cálculo, especificamente envolvendo funções com raízes cúbicas. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites e entender como manipular expressões com radicais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a raiz cúbica de uma forma que seja mais fácil de trabalhar. Sabemos que
pode ser expressa como
. Então, substituímos na expressão original:
Passo 3
Agora, observamos que essa expressão se assemelha à definição de uma derivada. Lembra que a derivada de uma função
no ponto
é dada por:
Aqui, podemos identificar
,
, e
. Isso significa que nossa expressão original está relacionada à derivada de
no ponto
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. Usando a regra do poder para derivadas, temos:
Isso significa que a derivada de
é
.
Passo 5
Agora, substituímos
na derivada para encontrar
:
Passo 6
Voltando à nossa expressão original, sabemos que:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo:
;
Calcule os limites abaixo:
;
Seja
uma função real definida no intervalo aberto
tal que
. Mostre que existe
tal que
se
.
Seja
. O limite abaixo existe?