Calcule lim x 0 raiz[3]1+c x-1x, onde c é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos entender direitinho o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de zero da expressão , onde é uma constante. Isso está relacionado ao estudo de limites em Cálculo, especificamente envolvendo funções com raízes cúbicas. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites e entender como manipular expressões com radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a raiz cúbica de uma forma que seja mais fácil de trabalhar. Sabemos que (1 + c x)^1/3 - 1x pode ser expressa como . Então, substituímos na expressão original:

Passo 3

Agora, observamos que essa expressão se assemelha à definição de uma derivada. Lembra que a derivada de uma função f'(a) = limh to 0 f(a + h) - f(a)h no ponto é dada por:
Aqui, podemos identificar , , e . Isso significa que nossa expressão original está relacionada à derivada de no ponto .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de f'(u) = 13 u^-2/3 . Usando a regra do poder para derivadas, temos:
Isso significa que a derivada de é .

Passo 5

Agora, substituímos f'(1) = 13 times 1^-2/3 = 13 times 1 = 13 na derivada para encontrar :

Passo 6

Voltando à nossa expressão original, sabemos que:
limx to 0 (1 + c x)^1/3 - 1x = f'(1) times c = 13 times c = c3

Resposta

O limite é .

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