Seja uma função real definida no intervalo aberto tal que . Mostre que existe tal que se .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função real definida num intervalo aberto . Sabemos que quando se aproxima de , o limite de é , ou seja, .
O que precisamos mostrar é que existe um número tal que, se estiver bem próximo de (exceto exatamente em ), então o valor absoluto de será menor que . Basicamente, queremos garantir que não fique muito “grande” perto de .
Para resolver isso, vamos usar a definição de limite e algumas propriedades das desigualdades. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que para qualquer número pequeno , existe um tal que sempre que , então .
Aqui, queremos controlar , então vamos escolher de forma adequada para conseguirmos isso.

Passo 3

Vamos escolher . Isso porque queremos que . Então, substituindo na definição de limite:
Para , existe um tal que se , então .

Passo 4

Agora, vamos manipular a desigualdade para encontrar uma relação com .
Lembrando que, pela desigualdade triangular reversa:
Então, se , temos:
Ou seja:

Passo 5

Portanto, conseguimos mostrar que existe um (esse é o nosso ) tal que se , então .

Resposta

Existe tal que, se , então .

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Calcule , onde é uma constante.
Calcule os limites abaixo: ;
Seja . O limite abaixo existe?
Calcule os limites abaixo: