Seja
uma função real definida no intervalo aberto
tal que
. Mostre que existe
tal que
se
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função real
definida num intervalo aberto
. Sabemos que quando
se aproxima de
, o limite de
é
, ou seja,
.
O que precisamos mostrar é que existe um número
tal que, se
estiver bem próximo de
(exceto exatamente em
), então o valor absoluto de
será menor que
. Basicamente, queremos garantir que
não fique muito “grande” perto de
.
Para resolver isso, vamos usar a definição de limite e algumas propriedades das desigualdades. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que para qualquer número pequeno
, existe um
tal que sempre que
, então
.
Aqui, queremos controlar
, então vamos escolher
de forma adequada para conseguirmos isso.
Passo 3
Vamos escolher
. Isso porque queremos que
. Então, substituindo na definição de limite:
Para
, existe um
tal que se
, então
.
Passo 4
Agora, vamos manipular a desigualdade
para encontrar uma relação com
.
Lembrando que, pela desigualdade triangular reversa:
Então, se
, temos:
Ou seja:
Passo 5
Portanto, conseguimos mostrar que existe um
(esse é o nosso
) tal que se
, então
.
Resposta
Existe
tal que, se
, então
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é uma constante.
Calcule os limites abaixo:
;
Seja
. O limite abaixo existe?
Calcule os limites abaixo: