Calcule os limites abaixo: lim x 1 x^3-1x-1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular o limite de quando se aproxima de 1. Isso é um problema de limites, que faz parte do cálculo. Pra resolver, vamos precisar de algumas técnicas de álgebra, como fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 1^3 - 11 - 1 = 1 - 10 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Esse resultado é uma indeterminação do tipo , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando temos uma indeterminação a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) , uma boa estratégia é fatorar o numerador. No caso, x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) é uma diferença de cubos, e a gente pode usar a fórmula:
Aqui, e , então:

Passo 4

Agora, substituímos a fatoração na expressão original:
x^3 - 1x - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)x - 1
Percebemos que o termo (x - 1)(x^2 + x + 1)x - 1 = x^2 + x + 1 aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar cancelando esse termo (desde que , mas como estamos fazendo um limite, isso é permitido):

Passo 5

Agora que simplificamos, o limite fica mais fácil de calcular. Basta substituir limx 1 (x^2 + x + 1) = 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é 3.

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