Calcule os limites abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular o limite de
quando
se aproxima de 1. Isso é um problema de limites, que faz parte do cálculo. Pra resolver, vamos precisar de algumas técnicas de álgebra, como fatoração de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Esse resultado é uma indeterminação do tipo
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Quando temos uma indeterminação
, uma boa estratégia é fatorar o numerador. No caso,
é uma diferença de cubos, e a gente pode usar a fórmula:
Aqui,
e
, então:
Passo 4
Agora, substituímos a fatoração na expressão original:
Percebemos que o termo
aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar cancelando esse termo (desde que
, mas como estamos fazendo um limite, isso é permitido):
Passo 5
Agora que simplificamos, o limite fica mais fácil de calcular. Basta substituir
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é 3.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo:
;
Esboçe o gráfico e determine os pontos de descontinuidade da função
onde
Calcule
, onde
é uma constante.
Seja
uma função real definida no intervalo aberto
tal que
. Mostre que existe
tal que
se
.