Calcule os limites abaixo: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular o limite de quando se aproxima de 1. Isso é um problema de limites, que faz parte do cálculo. Pra resolver, vamos precisar de algumas técnicas de álgebra, como fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver o que acontece:
Esse resultado é uma indeterminação do tipo , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando temos uma indeterminação , uma boa estratégia é fatorar o numerador. No caso, é uma diferença de cubos, e a gente pode usar a fórmula:
Aqui, e , então:

Passo 4

Agora, substituímos a fatoração na expressão original:
Percebemos que o termo aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar cancelando esse termo (desde que , mas como estamos fazendo um limite, isso é permitido):

Passo 5

Agora que simplificamos, o limite fica mais fácil de calcular. Basta substituir na expressão simplificada:

Resposta

O limite é 3.

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Calcule os limites abaixo: ;
Esboçe o gráfico e determine os pontos de descontinuidade da função onde
Calcule , onde é uma constante.
Seja uma função real definida no intervalo aberto tal que . Mostre que existe tal que se .