Calcule: lim x 2 raiz[3]x-raiz[3]2x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites e derivadas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões que envolvem raízes cúbicas e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que o limite tem a forma quando substituímos , o que indica que podemos simplificar a expressão. Para isso, vamos usar a identidade algébrica para a diferença de cubos: .

Passo 3

Vamos reescrever a expressão a^3 = x e b^3 = 2 de forma que possamos aplicar a identidade de diferença de cubos. Considerando a^3 - b^3 = x - 2 e , temos:
Portanto,

Passo 4

Aplicando a identidade de diferença de cubos:
x - 2 = (raiz[3]x - raiz[3]2)(raiz[3]x^2 + raiz[3]xraiz[3]2 + raiz[3]2^2)
Isso nos permite isolar raiz[3]x - raiz[3]2 = x - 2raiz[3]x^2 + raiz[3]xraiz[3]2 + raiz[3]2^2 :

Passo 5

Substituindo essa expressão no limite original:
lim x 2 raiz[3]x-raiz[3]2x-2 = lim x 2 1raiz[3]x^2 + raiz[3]xraiz[3]2 + raiz[3]2^2

Passo 6

Agora, substituímos raiz[3]2^2 + raiz[3]2raiz[3]2 + raiz[3]2^2 = 3raiz[3]2^2 na expressão simplificada:

Passo 7

Portanto, o limite fica:
lim x 2 13raiz[3]2^2 = 13 cdot (raiz[3]2)^2
Simplificando a expressão 13raiz[3]4 , temos:

Resposta

lim x 2 raiz[3]x-raiz[3]2x-2 = 13raiz[3]4

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