lim x -2 x^2+x-2x^2+5 x+6

Passo 1

Tudo bem! A gente tem que calcular o limite quando x se aproxima de -2 para a expressão x^2+x-2x^2+5 x+6. Vamos usar conceitos de limites e fatoração de polinômios para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador. Fatorar significa escrever a expressão como um produto de dois ou mais fatores menores.
O numerador é x^2 + x - 2. Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão 1. Esses números são 2 e -1. Então:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
O denominador é x^2 + 5x + 6. Aqui, precisamos de dois números que multiplicados dão 6 e somados dão 5. Esses números são 2 e 3. Então:
x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Passo 3

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
x^2+x-2x^2+5 x+6 = (x + 2)(x - 1)(x + 2)(x + 3)
Podemos ver que (x + 2) está presente no numerador e no denominador, então podemos simplificar cancelando esse fator, desde que x neq -2 (o que é válido porque estamos calculando um limite):
(x + 2)(x - 1)(x + 2)(x + 3) = x - 1x + 3

Passo 4

Com a expressão simplificada x - 1x + 3, agora podemos substituir x por -2 diretamente para encontrar o limite:
-2 - 1-2 + 3 = -31 = -3

Resposta

O limite é -3.

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