lim x 0 xraizx+4-raiz4-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse é um problema de cálculo, especificamente de limites envolvendo radicais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de racionalização para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece se tentarmos substituir 0raiz0+4 - raiz4-0 = 0raiz4 - raiz4 = 02 - 2 = 00 diretamente na expressão:
Isso nos dá uma forma indeterminada , então precisamos de outra estratégia para encontrar o limite.

Passo 3

A estratégia aqui é racionalizar o denominador. Isso significa que vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador para eliminar as raízes quadradas. A conjugada de é .

Passo 4

Vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada:
xraizx+4 - raiz4-x times raizx+4 + raiz4-xraizx+4 + raiz4-x = x(raizx+4 + raiz4-x)(raizx+4)^2 - (raiz4-x)^2
Aqui, usamos a identidade para simplificar o denominador.

Passo 5

Simplificando o denominador:
(raizx+4)^2 - (raiz4-x)^2 = (x + 4) - (4 - x) = x + 4 - 4 + x = 2x
Então, a expressão fica:
x(raizx+4 + raiz4-x)2x
Agora, podemos cancelar o raizx+4 + raiz4-x2 no numerador e denominador:

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite substituindo raiz0+4 + raiz4-02 = raiz4 + raiz42 = 2 + 22 = 42 = 2 :

Resposta

O limite é igual a .

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