Calcule $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x{3}-1}{x{4}+3 x-4}”
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 1 para a função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites. Para resolver, vamos precisar verificar o comportamento da função perto de
, fatorar os polinômios no numerador e no denominador, e simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite facilmente:
Obtemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.
No numerador, temos:
Isso é uma diferença de cubos, onde
.
No denominador, temos:
Vamos verificar se
é uma raiz desse polinômio:
Como
é uma raiz, podemos fatorar
do denominador usando divisão polinomial:
Passo 4
Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
Podemos cancelar o fator comum
nos dois lados:
Passo 5
Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir
diretamente:
Resposta
O limite é
.