Calcule $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x{3}-1}{x{4}+3 x-4}”

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 para a função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites. Para resolver, vamos precisar verificar o comportamento da função perto de , fatorar os polinômios no numerador e no denominador, e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite facilmente:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.
No numerador, temos:
Isso é uma diferença de cubos, onde .
No denominador, temos:
Vamos verificar se é uma raiz desse polinômio:
Como é uma raiz, podemos fatorar do denominador usando divisão polinomial:

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
Podemos cancelar o fator comum nos dois lados:

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir diretamente:

Resposta

O limite é .

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Calcule $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-5 x^{2}+8 x-4}{x^{4}-5 x-6}”
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