Esboce o gráfico de . Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função e calcular o limite . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções racionais, gráficos de funções e o conceito de limite, especialmente quando o denominador está se aproximando de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Essa é uma função racional, que é basicamente o quociente de dois polinômios. Para esboçar o gráfico, é útil identificar pontos importantes como interceptações, assíntotas e comportamentos gerais da função.

Passo 3

Vamos começar encontrando os zeros da função, ou seja, os valores de que fazem o . Isso acontece quando o numerador é igual a zero:
Então, a função cruza o eixo nos pontos e .

Passo 4

Agora, vamos identificar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero (e o numerador não é zero nesse ponto). Vamos resolver:
Portanto, há uma assíntota vertical em .

Passo 5

Interessante notar que também é um zero da função, como vimos no Passo 3. Isso significa que o ponto é um ponto de remoção de descontinuidade. Vamos simplificar a função para entender melhor seu comportamento:
Então,
Para , podemos simplificar:

Passo 6

Com a função simplificada para , fica mais fácil esboçar o gráfico. É uma reta com inclinação 2 e intercepto em 1. Porém, como é um ponto de remoção de descontinuidade, o gráfico terá um “buraco” nesse ponto.

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite . Já que simplificamos a função para quando , podemos usar essa forma para calcular o limite:

Passo 8

Agora, substituímos por na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 2.

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