Esboce o gráfico de f(x)=4 x^2-12 x-1. Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule lim x 1 / 2 4 x^2-12 x-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função e calcular o limite . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções racionais, gráficos de funções e o conceito de limite, especialmente quando o denominador está se aproximando de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Essa é uma função racional, que é basicamente o quociente de dois polinômios. Para esboçar o gráfico, é útil identificar pontos importantes como interceptações, assíntotas e comportamentos gerais da função.

Passo 3

Vamos começar encontrando os zeros da função, ou seja, os valores de 4x^2 - 1 = 0 que fazem o 4x^2 = 1 . Isso acontece quando o numerador é igual a zero:
x^2 = 14
x = pm 12
Então, a função cruza o eixo nos pontos e .

Passo 4

Agora, vamos identificar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero (e o numerador não é zero nesse ponto). Vamos resolver:
2x - 1 = 0
2x = 1
x = 12
Portanto, há uma assíntota vertical em .

Passo 5

Interessante notar que f(x) = 4x^2 - 12x - 1 também é um zero da função, como vimos no Passo 3. Isso significa que o ponto 4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1) é um ponto de remoção de descontinuidade. Vamos simplificar a função para entender melhor seu comportamento:
f(x) = (2x - 1)(2x + 1)2x - 1
f(x) = 2x + 1
Então,
Para , podemos simplificar:

Passo 6

Com a função simplificada para , fica mais fácil esboçar o gráfico. É uma reta com inclinação 2 e intercepto em 1. Porém, como é um ponto de remoção de descontinuidade, o gráfico terá um “buraco” nesse ponto.

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite lim x 12 4x^2 - 12x - 1 = lim x 12 (2x + 1) . Já que simplificamos a função para quando , podemos usar essa forma para calcular o limite:

Passo 8

Agora, substituímos 2(12) + 1 = 1 + 1 = 2 por na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 2.

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