Esboce o gráfico de
. Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função
e calcular o limite
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções racionais, gráficos de funções e o conceito de limite, especialmente quando o denominador está se aproximando de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Essa é uma função racional, que é basicamente o quociente de dois polinômios. Para esboçar o gráfico, é útil identificar pontos importantes como interceptações, assíntotas e comportamentos gerais da função.
Passo 3
Vamos começar encontrando os zeros da função, ou seja, os valores de
que fazem o
. Isso acontece quando o numerador é igual a zero:
Então, a função cruza o eixo
nos pontos
e
.
Passo 4
Agora, vamos identificar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero (e o numerador não é zero nesse ponto). Vamos resolver:
Portanto, há uma assíntota vertical em
.
Passo 5
Interessante notar que
também é um zero da função, como vimos no Passo 3. Isso significa que o ponto
é um ponto de remoção de descontinuidade. Vamos simplificar a função para entender melhor seu comportamento:
Então,
Para
, podemos simplificar:
Passo 6
Com a função simplificada
para
, fica mais fácil esboçar o gráfico. É uma reta com inclinação 2 e intercepto em 1. Porém, como
é um ponto de remoção de descontinuidade, o gráfico terá um “buraco” nesse ponto.
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite
. Já que simplificamos a função para
quando
, podemos usar essa forma para calcular o limite:
Passo 8
Agora, substituímos
por
na expressão simplificada:
Resposta
O limite
é igual a 2.
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