Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio, de 900 m de largura, até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3000 m rio abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio é de R por metro, enquanto que para estendê-lo por terra custa por metro, enquanto que para estendê-lo por terra custa o metro. Qual é o percurso mais econômico para o cabo?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma usina de força e uma fábrica do outro lado de um rio. A largura do rio é de 900 metros e a fábrica está 3000 metros rio abaixo da usina. Queremos descobrir qual o caminho mais barato para estender o cabo entre esses dois pontos, considerando que o custo de instalar o cabo na água é de R$ 5,00 por metro e na terra é de R$ 4,00 por metro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização de custos, que envolvem encontrar o mínimo de uma função de custo.

Passo 2

Vamos imaginar que o cabo parte da usina e atravessa o rio em um ponto que está a uma certa distância rio abaixo da fábrica. Vamos chamar essa distância de metros. Assim, a distância que o cabo percorre na água forma a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde um cateto é a largura do rio (900 metros) e o outro é . Podemos calcular essa distância usando o Teorema de Pitágoras:
âá
Essa é a parte do cabo que custa R$ 5,00 por metro.

Passo 3

Depois de atravessar o rio, o cabo segue por terra até a fábrica. A distância que o cabo percorre na terra é a diferença entre os 3000 metros totais e os metros escolhidos para a travessia. Portanto:
â
Essa parte do cabo custa R$ 4,00 por metro.

Passo 4

Agora, vamos calcular o custo total em função de . O custo total será a soma do custo do cabo na água e do cabo na terra:
Nosso objetivo é encontrar o valor de que minimiza essa função de custo.

Passo 5

Para encontrar o mínimo da função , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Resolvendo essa equação para :
Multiplicando ambos os lados por :
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:

Passo 6

Agora que encontramos metros, vamos calcular o custo mínimo substituindo esse valor na função :
Calculando a distância na água:
Agora, calculamos o custo total:

Resposta

O percurso mais econômico para o cabo custa R$ 14.700,00, atravessando o rio a 1200 metros rio abaixo da posição diretamente oposta à fábrica.

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