Uma folha de papelão quadrada com
é usada para fazer uma caixa aberta, retirando quadrados do mesmo tamanho dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados que resulta na caixa com o maior volume possível?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre transformar uma folha quadrada de papelão com área de
em uma caixa aberta. Para isso, a gente vai cortar quadradinhos iguais nos quatro cantos e dobrar os lados. O objetivo é descobrir qual o tamanho desses quadrados que vai fazer a caixa ter o maior volume possível. Vamos usar conceitos de geometria e funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões da folha de papelão. Sabemos que a área é
e é um quadrado, então cada lado mede
.
Passo 3
Agora, vamos chamar o lado dos quadrados que vamos cortar de
cm. Ao cortar
cm de cada canto e dobrar, as dimensões da base da caixa vão ser reduzidas. A largura e o comprimento vão ficar:
A altura da caixa será igual a
.
Passo 4
O volume da caixa (
) é dado pelo produto do comprimento, largura e altura:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, precisamos derivar a função
em relação a
e achar onde a derivada é zero.
Primeiro, expandimos
:
Agora, derivamos em relação a
:
Passo 6
Igualamos a derivada a zero para encontrar os valores críticos:
Dividindo todos os termos por 4 para simplificar:
Reordenando:
Passo 7
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Isso dá duas soluções:
Passo 8
Precisamos verificar qual dessas soluções faz sentido no contexto do problema. Se
, as dimensões da base seriam:
O que não faz sentido, pois a caixa não existiria. Portanto, a solução válida é:
Resposta
O tamanho dos quadrados que resulta na caixa com o maior volume possível é
.
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