Uma folha de papelão quadrada com é usada para fazer uma caixa aberta, retirando quadrados do mesmo tamanho dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados que resulta na caixa com o maior volume possível?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre transformar uma folha quadrada de papelão com área de em uma caixa aberta. Para isso, a gente vai cortar quadradinhos iguais nos quatro cantos e dobrar os lados. O objetivo é descobrir qual o tamanho desses quadrados que vai fazer a caixa ter o maior volume possível. Vamos usar conceitos de geometria e funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões da folha de papelão. Sabemos que a área é e é um quadrado, então cada lado mede .

Passo 3

Agora, vamos chamar o lado dos quadrados que vamos cortar de cm. Ao cortar cm de cada canto e dobrar, as dimensões da base da caixa vão ser reduzidas. A largura e o comprimento vão ficar:
A altura da caixa será igual a .

Passo 4

O volume da caixa ( ) é dado pelo produto do comprimento, largura e altura:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 5

Para encontrar o valor de que maximiza o volume, precisamos derivar a função em relação a e achar onde a derivada é zero.
Primeiro, expandimos :
Agora, derivamos em relação a :

Passo 6

Igualamos a derivada a zero para encontrar os valores críticos:
Dividindo todos os termos por 4 para simplificar:
Reordenando:

Passo 7

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Isso dá duas soluções:

Passo 8

Precisamos verificar qual dessas soluções faz sentido no contexto do problema. Se , as dimensões da base seriam:
O que não faz sentido, pois a caixa não existiria. Portanto, a solução válida é:

Resposta

O tamanho dos quadrados que resulta na caixa com o maior volume possível é .

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