Calcule $\lim _{x \rightarrow p} \frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{p}}{x-p}
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites e envolve radiciação de índice
. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e aplicar propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que estamos lidando com uma expressão do tipo
, que se assemelha à definição da derivada da função
no ponto
. No nosso caso,
.
Passo 3
A definição da derivada de
em
é:
Portanto, o limite que estamos calculando é exatamente a derivada de
em
.
Passo 4
Vamos encontrar a derivada de
. Usando a regra de potência para derivadas, sabemos que:
Passo 5
Agora, substituímos
por
na expressão da derivada para encontrar
:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula: $g(x)=17 x-65
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula: $g(x)=5 x+\frac{x}{x-1}
Derive.
Em vez de ficarmos satisfeitos com aproximações lineares ou quadráticas para
próximo a
, vamos tentar encontrar aproximações melhores por polinômios de graus mais altos. Procuramos por um polinômio de grau
tal que
e suas primeiras
derivadas tenham os mesmos valores em
que
e suas primeiras
derivadas. Derivando repetidamente e fazendo
, mostre que essas condições estão satisfeitas se
e em geral
onde
. O polinômio resultante
é denominado polinômio de Taylor de grau
de
centrado em
.