Calcule $\lim _{x \rightarrow p} \frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{p}}{x-p}

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites e envolve radiciação de índice . Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que estamos lidando com uma expressão do tipo , que se assemelha à definição da derivada da função no ponto . No nosso caso, .

Passo 3

A definição da derivada de em é:
Portanto, o limite que estamos calculando é exatamente a derivada de em .

Passo 4

Vamos encontrar a derivada de . Usando a regra de potência para derivadas, sabemos que:

Passo 5

Agora, substituímos por na expressão da derivada para encontrar :

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo, calcule , utilizando as propriedades vistas em aula: $g(x)=17 x-65
Em cada item abaixo, calcule , utilizando as propriedades vistas em aula: $g(x)=5 x+\frac{x}{x-1}
Derive.
Em vez de ficarmos satisfeitos com aproximações lineares ou quadráticas para próximo a , vamos tentar encontrar aproximações melhores por polinômios de graus mais altos. Procuramos por um polinômio de grau
tal que e suas primeiras derivadas tenham os mesmos valores em que e suas primeiras derivadas. Derivando repetidamente e fazendo , mostre que essas condições estão satisfeitas se
e em geral
onde . O polinômio resultante
é denominado polinômio de Taylor de grau de centrado em .