Em vez de ficarmos satisfeitos com aproximações lineares ou quadráticas para f(x) próximo a x = a, vamos tentar encontrar aproximações melhores por polinômios de graus mais altos. Procuramos por um polinômio de grau n
T_n(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^{2}+c_3(x-a)^{3}+...+c_n(x-a)^{n}
tal que T_n e suas primeiras n derivadas tenham os mesmos valores em x = a que f e suas primeiras n derivadas. Derivando repetidamente e fazendo x = a, mostre que essas condições estão satisfeitas se
c0=f(a), c1=f'(a), c2=1/2 f''(a)
e em geral
c_k = f^(k)(a) / k!
onde k! = 1 * 2 * 3 * 4 * .... O polinômio resultante
T_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2!(x-a)^2 + ... + f^(n)(a)/n!(x-a)^n
é denominado polinômio de Taylor de grau n de f centrado em a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente mostre como encontrar os coeficientes de um polinômio de Taylor de grau para uma função centrado em . A gente vai precisar usar cálculo diferencial, especialmente derivadas, para igualar as derivadas do polinômio às derivadas da função original no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor é dado por:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes de forma que o polinômio e suas primeiras derivadas coincidam com e suas derivadas no ponto .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas de . A primeira derivada é:
A segunda derivada:
E assim por diante, até a -ésima derivada.

Passo 4

Agora, vamos avaliar e todas as suas derivadas no ponto . Quando fazemos isso, todos os termos que possuem desaparecem, porque . Então, temos:

Passo 5

Sabemos que para e terem as mesmas derivadas até a ordem em , precisamos que:
Substituindo as expressões que encontramos:
Assim, isolando :

Passo 6

Com os coeficientes encontrados, podemos escrever o polinômio de Taylor completo:
Esse é o polinômio de Taylor de grau para a função centrado em .

Resposta

Os coeficientes do polinômio de Taylor satisfazem para todo , e o polinômio é dado por:

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