Em vez de ficarmos satisfeitos com aproximações lineares ou quadráticas para
próximo a
, vamos tentar encontrar aproximações melhores por polinômios de graus mais altos. Procuramos por um polinômio de grau
tal que
e suas primeiras
derivadas tenham os mesmos valores em
que
e suas primeiras
derivadas. Derivando repetidamente e fazendo
, mostre que essas condições estão satisfeitas se
e em geral
onde
. O polinômio resultante
é denominado polinômio de Taylor de grau
de
centrado em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente mostre como encontrar os coeficientes de um polinômio de Taylor de grau
para uma função
centrado em
. A gente vai precisar usar cálculo diferencial, especialmente derivadas, para igualar as derivadas do polinômio às derivadas da função original no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor
é dado por:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
de forma que o polinômio e suas primeiras
derivadas coincidam com
e suas derivadas no ponto
.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas de
. A primeira derivada é:
A segunda derivada:
E assim por diante, até a
-ésima derivada.
Passo 4
Agora, vamos avaliar
e todas as suas derivadas no ponto
. Quando fazemos isso, todos os termos que possuem
desaparecem, porque
. Então, temos:
Passo 5
Sabemos que para
e
terem as mesmas derivadas até a ordem
em
, precisamos que:
Substituindo as expressões que encontramos:
Assim, isolando
:
Passo 6
Com os coeficientes
encontrados, podemos escrever o polinômio de Taylor completo:
Esse é o polinômio de Taylor de grau
para a função
centrado em
.
Resposta
Os coeficientes do polinômio de Taylor satisfazem
para todo
, e o polinômio é dado por: