Em vez de ficarmos satisfeitos com aproximações lineares ou quadráticas para
próximo a
, vamos tentar encontrar aproximações melhores por polinômios de graus mais altos. Procuramos por um polinômio de grau
tal que
e suas primeiras
derivadas tenham os mesmos valores em
que
e suas primeiras
derivadas. Derivando repetidamente e fazendo
, mostre que essas condições estão satisfeitas se
e em geral
onde
. O polinômio resultante
é denominado polinômio de Taylor de grau
de
centrado em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente mostre como encontrar os coeficientes de um polinômio de Taylor de grau
para uma função
centrado em
. A gente vai precisar usar cálculo diferencial, especialmente derivadas, para igualar as derivadas do polinômio às derivadas da função original no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor
é dado por:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
de forma que o polinômio e suas primeiras
derivadas coincidam com
e suas derivadas no ponto
.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas de
. A primeira derivada é:
A segunda derivada:
E assim por diante, até a
-ésima derivada.
Passo 4
Agora, vamos avaliar
e todas as suas derivadas no ponto
. Quando fazemos isso, todos os termos que possuem
desaparecem, porque
. Então, temos:
Passo 5
Sabemos que para
e
terem as mesmas derivadas até a ordem
em
, precisamos que:
Substituindo as expressões que encontramos:
Assim, isolando
:
Passo 6
Com os coeficientes
encontrados, podemos escrever o polinômio de Taylor completo:
Esse é o polinômio de Taylor de grau
para a função
centrado em
.
Resposta
Os coeficientes do polinômio de Taylor satisfazem
para todo
, e o polinômio é dado por:
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<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.345ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“11.822ex” height=“3.042ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 5225.3 1344.5”><title>f(x) = x / (x + c / x)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 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</body></html>
<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.345ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“11.822ex” height=“3.042ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 5225.3 1344.5”><title>f(x) = x / (x + c / x)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 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