Calcule:
lim x 0 1-sec xcos x (Resposta: 0 )

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício envolve conceitos de limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender o que é o limite, a definição de e manipular as funções trigonométricas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que 1 - sec xcos x = 1 - 1cos xcos x é o inverso da função cosseno, ou seja, . Substituindo isso na expressão original, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador da fração:
1 - 1cos x = cos x - 1cos x
Portanto, a expressão fica:
cos x - 1cos xcos x = cos x - 1cos^2 x

Passo 4

Para calcular o limite , vamos analisar cada parte quando se aproxima de 0. Sabemos que , então no numerador tende a 0.

Passo 5

Vamos usar a aproximação de Taylor para cos x approx 1 - x^22 próximo de 0:
cos x - 1 approx -x^22
Substituindo na expressão do numerador:
cos^2 x approx (1 - x^22)^2 approx 1 - x^2 + x^44 approx 1
E no denominador:

Passo 6

Assim, a expressão do limite fica aproximadamente:
-x^221 = -x^22
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0.

Resposta

0

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