Calcule
lim x 0 sen^2(11 x)5 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo a função trigonométrica seno. Para resolver isso, vamos precisar entender como o seno se comporta quando o ângulo está próximo de zero e usar algumas propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos limites: . Essa propriedade nos diz que, quando se aproxima de zero, se comporta de forma muito semelhante a .

Passo 3

No nosso caso, temos limx 0 (sin(11x))^25x no numerador. Podemos reescrever isso como limx 0 ( sin(11x) cdot sin(11x)5x ) . Então, o limite fica:
Para simplificar, vamos separar um dos senos e reescrever a expressão da seguinte maneira:

Passo 4

Agora, observamos que temos limx 0 ( sin(11x) cdot 11x5x cdot sin(11x)11x ) = limx 0 ( sin(11x) cdot 115 cdot sin(11x)11x ) e multiplicamos por para ajustar a expressão. Então, reescrevemos:

Passo 5

Sabemos que pela propriedade que mencionamos no Passo 2. Além disso, , porque o seno de um valor que se aproxima de zero também se aproxima de zero.

Passo 6

Agora, substituímos esses limites na expressão:
0 cdot 115 cdot 1 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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