Determine f', f'', f''' e f^(4), se
f(x) = x^3 - x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar suas derivadas primeira, segunda, terceira e quarta, ou seja, , , e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivação de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada primeira, . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em relação a . Para polinômios, aplicamos a regra geral: se , então .
Aplicando isso à nossa função:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada segunda, , que é a derivada da derivada primeira. Isso nos dá como a taxa de variação da taxa de variação da função.
Usando a derivada primeira que encontramos:
Derivando novamente:

Passo 4

Seguindo adiante, vamos calcular a derivada terceira, , que é a derivada da derivada segunda.
Usando a derivada segunda:
Derivando novamente:

Passo 5

Por fim, calculamos a derivada quarta, , que é a derivada da derivada terceira.
Usando a derivada terceira:
Derivando novamente:

Resposta

As derivadas da função são:

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