Calcule

Passo 1

Então, temos a seguinte questão: calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Vamos usar conceitos de cálculo de limites e propriedades das funções trigonométricas para resolver isso. Precisaremos entender como simplificar expressões algébricas e aplicar regras de limite, como a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, observamos que pode ser fatorado como . Então, a expressão dentro do seno fica . Como estamos calculando o limite quando se aproxima de , o termo tende a zero.

Passo 3

Sabemos que para valores pequenos de , é aproximadamente igual a . Essa é uma propriedade útil quando o ângulo dentro do seno está se aproximando de zero. Portanto, podemos aproximar por quando está perto de .

Passo 4

Substituindo essa aproximação na nossa expressão original, temos:
Aqui, o termo no numerador e no denominador se cancelam, restando .

Passo 5

Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de :
Portanto, o limite original também será .

Resposta

O limite é igual a .

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