Determine
e
, se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as primeiras quatro derivadas da função
. Para isso, vamos usar o Regra do Produto, que é uma técnica de cálculo para derivar funções que são produtos de duas outras funções. Vamos precisar lembrar dessa regra e aplicá-la várias vezes conforme derivamos a função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. A função é
, que é o produto de
e
.
A Regra do Produto diz que:
Então, aplicando isso:
Calculando as derivadas de
e
:
Substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora vamos para a segunda derivada
. Já sabemos que:
Podemos fatorar
:
Para derivar isso novamente, usamos a Regra do Produto:
Sabendo que
e derivando o polinômio:
Então:
Passo 4
Seguimos para a terceira derivada
. Temos:
Aplicando a Regra do Produto novamente:
Sabendo que
e derivando o polinômio:
Então:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar a quarta derivada
. Já temos:
Aplicando mais uma vez a Regra do Produto:
Sabendo que
e derivando o polinômio:
Então:
Resposta
As derivadas de
são:
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e
, se
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e
, se
Calcule
Derive