Determine e , se

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as primeiras quatro derivadas da função . Para isso, vamos usar o Regra do Produto, que é uma técnica de cálculo para derivar funções que são produtos de duas outras funções. Vamos precisar lembrar dessa regra e aplicá-la várias vezes conforme derivamos a função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . A função é , que é o produto de e .
A Regra do Produto diz que:
Então, aplicando isso:
Calculando as derivadas de e :
Substituindo na fórmula:

Passo 3

Agora vamos para a segunda derivada . Já sabemos que:
Podemos fatorar :
Para derivar isso novamente, usamos a Regra do Produto:
Sabendo que e derivando o polinômio:
Então:

Passo 4

Seguimos para a terceira derivada . Temos:
Aplicando a Regra do Produto novamente:
Sabendo que e derivando o polinômio:
Então:

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a quarta derivada . Já temos:
Aplicando mais uma vez a Regra do Produto:
Sabendo que e derivando o polinômio:
Então:

Resposta

As derivadas de são:

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