Determine
e
, se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos as primeiras quatro derivadas da função
. Estamos lidando com derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar a função logarítmica natural e aplicar as regras de derivação sucessivamente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é:
Isso porque a taxa de variação do logaritmo natural em relação a
diminui à medida que
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda derivada
. Para isso, derivamos
:
Vimos que ao derivar
, obtemos
, indicando que a concavidade da função
está mudando.
Passo 4
Seguimos para a terceira derivada
. Derivando
:
Aqui, a derivada resulta em
, mostrando como a taxa de mudança da concavidade está evoluindo.
Passo 5
Finalmente, vamos encontrar a quarta derivada
. Derivando
:
Assim, a quarta derivada é
, indicando mais uma camada na taxa de mudança da função original.
Resposta
As derivadas de
são:
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Determine
e
, se
O deslocamento (em metros) de um objeto movendo-se ao longo de uma reta é dado por
onde
é medido em segundos.
Encontre a velocidade instantânea em .
Encontre a velocidade instantânea em
Determine
e
, se
Calcule