Determine e , se

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos as primeiras quatro derivadas da função . Estamos lidando com derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar a função logarítmica natural e aplicar as regras de derivação sucessivamente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Sabemos que a derivada de em relação a é:
Isso porque a taxa de variação do logaritmo natural em relação a diminui à medida que aumenta.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada . Para isso, derivamos :
Vimos que ao derivar , obtemos , indicando que a concavidade da função está mudando.

Passo 4

Seguimos para a terceira derivada . Derivando :
Aqui, a derivada resulta em , mostrando como a taxa de mudança da concavidade está evoluindo.

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar a quarta derivada . Derivando :
Assim, a quarta derivada é , indicando mais uma camada na taxa de mudança da função original.

Resposta

As derivadas de são:

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onde é medido em segundos.
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