Calcule
lim x 0 e^sen(x)-cos (x)x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 0 e^sin(x) - cos(x)x
Aqui, vamos usar conceitos de limites e desenvolvimento em série de Taylor para funções trigonométricas e exponenciais. Vamos precisar expandir as funções e em séries de potências em torno de para simplificar a expressão e encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o desenvolvimento em série de Taylor para o seno e o cosseno perto de sin(x) = x - x^36 + x^5120 - dots :
cos(x) = 1 - x^22 + x^424 - dots
e^y = 1 + y + y^22 + y^36 + dots
Também precisamos da série de Taylor para a função exponencial :

Passo 3

Agora, vamos substituir e^sin(x) = 1 + sin(x) + sin^2(x)2 + sin^3(x)6 + dots na série de e^sin(x) = 1 + (x - x^36) + (x - x^36)^22 + dots :
e^sin(x) approx 1 + x - x^36 + x^22 - x^46 + dots
Substituindo a série de e^sin(x) approx 1 + x + x^22 - x^36 :
Vamos simplificar até termos de :
Desprezando os termos de ordem superior a :

Passo 4

Agora, substituímos a série de cos(x) approx 1 - x^22 + x^424 :
cos(x) approx 1 - x^22
Desprezando os termos de ordem superior a :

Passo 5

Vamos agora montar a expressão original substituindo as aproximações encontradas:
e^sin(x) - cos(x)x approx (1 + x + x^22 - x^36) - (1 - x^22)x
Simplificando o numerador:
1 + x + x^22 - x^36 - 1 + x^22 = x + x^2 - x^36
Então, a expressão fica:
x + x^2 - x^36x

Passo 6

Dividindo cada termo do numerador por xx + x^2x - x^36x = 1 + x - x^26 :

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando limx to 0 (1 + x - x^26) = 1 + 0 - 0 = 1 tende a 0:

Resposta

O limite é igual a 1.

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