Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, vamos usar conceitos de limites e desenvolvimento em série de Taylor para funções trigonométricas e exponenciais. Vamos precisar expandir as funções
e
em séries de potências em torno de
para simplificar a expressão e encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o desenvolvimento em série de Taylor para o seno e o cosseno perto de
:
Também precisamos da série de Taylor para a função exponencial
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
na série de
:
Substituindo a série de
:
Vamos simplificar até termos de
:
Desprezando os termos de ordem superior a
:
Passo 4
Agora, substituímos a série de
:
Desprezando os termos de ordem superior a
:
Passo 5
Vamos agora montar a expressão original substituindo as aproximações encontradas:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Dividindo cada termo do numerador por
:
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a 0:
Resposta
O limite é igual a 1.