Seja a função
. Determine o valor de
para que
seja contínua em todo o seu domínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função que muda de fórmula quando
passa de
. A função é:
O objetivo é encontrar o valor de
para que essa função seja contínua em todo o seu domínio. Ou seja, não pode ter “saltos” ou “quebras” na linha da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função nesse ponto são iguais. No nosso caso, o ponto de interesse é
, onde a função muda de fórmula.
Passo 3
Vamos calcular o valor da função quando
usando a segunda parte da definição, já que
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de
pela esquerda (
):
Substituindo
:
Passo 5
Para a função ser contínua em
, o limite pela esquerda deve ser igual ao valor da função nesse ponto:
Resolvendo para
:
Resposta
O valor de
que torna a função contínua em todo o seu domínio é
.
Exercícios relacionados
Considere a função
. (b) Linearize
a partir do ponto
.
Calcule
Determinar a equação polar da recta
.
Considere a função
. Então
e
(b) Encontre as raízes da função e o ponto de interseção com o eixo
.