Seja a função f(x) = { k / (x - 4)² , x < -1/2; (1/4)ⁿ , x ≥ -1/2 }. Determine o valor de k para que f(x) seja contínua em todo o seu domínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que muda de fórmula quando passa de . A função é:
O objetivo é encontrar o valor de para que essa função seja contínua em todo o seu domínio. Ou seja, não pode ter “saltos” ou “quebras” na linha da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função nesse ponto são iguais. No nosso caso, o ponto de interesse é , onde a função muda de fórmula.

Passo 3

Vamos calcular o valor da função quando usando a segunda parte da definição, já que :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de pela esquerda ( ):
Substituindo :

Passo 5

Para a função ser contínua em , o limite pela esquerda deve ser igual ao valor da função nesse ponto:
Resolvendo para :

Resposta

O valor de que torna a função contínua em todo o seu domínio é .

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