Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f(x, y) com o plano x = x0 no ponto P(x0, y0, z0).
a) z = 5x - 2y ; P(3, -1, 17)
b) z = raiz(x^2 + y^2 - 1) ; (1, -1, 1)

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um exercício que envolve geometria analítica e cálculo, especificamente sobre reta tangente. Nosso objetivo aqui é encontrar a inclinação da reta tangente à curva que resulta da intersecção de uma superfície com o plano no ponto . Para isso, vamos precisar entender como derivar e aplicar essas funções no contexto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a intersecção de com o plano . Quando fixamos , a equação da superfície vira uma função de y apenas, ou seja, . Isso nos dá uma curva no plano .

Passo 3

Para encontrar a reta tangente a essa curva no ponto , precisamos calcular a derivada dessa função em relação a y no ponto . A derivada nos dá a inclinação da curva naquele ponto, que será a inclinação da nossa reta tangente.

Passo 4

Vamos aplicar isso para o item a):
a) ;
Primeiro, fixamos , então a função fica:
Agora, derivamos z em relação a y:
A inclinação da reta tangente no ponto é então -2.

Passo 5

Agora, vamos para o item b):
b) ;
Primeiro, fixamos x = 1, então a função fica:
No ponto , , então:
Mas para derivar, precisamos tratar . A derivada de em relação a y é:
No ponto :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é -1.

Resposta

a) A inclinação da reta tangente no ponto é -2.
b) A inclinação da reta tangente no ponto é -1.

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