Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de com o plano no ponto .
a)
b)

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um exercício que envolve geometria analítica e cálculo, especificamente sobre reta tangente. Nosso objetivo aqui é encontrar a inclinação da reta tangente à curva que resulta da intersecção de uma superfície com o plano no ponto . Para isso, vamos precisar entender como derivar e aplicar essas funções no contexto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a intersecção de com o plano . Quando fixamos , a equação da superfície vira uma função de apenas, ou seja, . Isso nos dá uma curva no plano .

Passo 3

Para encontrar a reta tangente a essa curva no ponto , precisamos calcular a derivada dessa função em relação a no ponto . A derivada nos dá a inclinação da curva naquele ponto, que será a inclinação da nossa reta tangente.

Passo 4

Vamos aplicar isso para o item a):
a) ;
Primeiro, fixamos , então a função fica:
Agora, derivamos em relação a :
A inclinação da reta tangente no ponto é então .

Passo 5

Agora, vamos para o item b):
b) ;
Primeiro, fixamos , então a função fica:
No ponto , , então:
Mas para derivar, precisamos tratar . A derivada de em relação a é:
No ponto :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Resposta

a) A inclinação da reta tangente no ponto é .
b) A inclinação da reta tangente no ponto é .

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