Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de
com o plano
no ponto
.
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver um exercício que envolve geometria analítica e cálculo, especificamente sobre reta tangente. Nosso objetivo aqui é encontrar a inclinação da reta tangente à curva que resulta da intersecção de uma superfície
com o plano
no ponto
. Para isso, vamos precisar entender como derivar e aplicar essas funções no contexto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a intersecção de
com o plano
. Quando fixamos
, a equação da superfície vira uma função de
apenas, ou seja,
. Isso nos dá uma curva no plano
.
Passo 3
Para encontrar a reta tangente a essa curva no ponto
, precisamos calcular a derivada dessa função em relação a
no ponto
. A derivada nos dá a inclinação da curva naquele ponto, que será a inclinação da nossa reta tangente.
Passo 4
Vamos aplicar isso para o item a):
a)
;
Primeiro, fixamos
, então a função fica:
Agora, derivamos
em relação a
:
A inclinação da reta tangente no ponto
é então
.
Passo 5
Agora, vamos para o item b):
b)
;
Primeiro, fixamos
, então a função fica:
No ponto
,
, então:
Mas para derivar, precisamos tratar
. A derivada de
em relação a
é:
No ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Resposta
a) A inclinação da reta tangente no ponto
é
.
b) A inclinação da reta tangente no ponto
é
.
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Encontre a norma do vetor médio da função vetorial
, considerando
.
Consideremos a seguinte função vetorial:
Encontre o comprimento da trajetória da partícula, dada pela função
, para
.
Calcule:
Esboce o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções: