Nos exercícios 35 a 38, encontre a série de Maclaurin para cada função, indicando o intervalo de convergência da expansão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a série de Maclaurin para funções específicas e indicar onde essa série converge. Maclaurin é um tipo especial de série de Taylor que expande uma função em torno de 0. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como desenvolver a série de Maclaurin e entender o que significa intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma expansão em série de potências de uma função centrada em . A fórmula geral é:
Isso significa que a gente calcula as derivadas da função em e usa esses valores para construir a série.
Passo 3
Vamos fazer um exemplo para entender melhor. Suponha que a função seja . Queremos encontrar a série de Maclaurin dela.
Primeiro, calculamos as derivadas:
Percebi que todas as derivadas de são iguais a . Avaliando em :
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Maclaurin:
Então, a série de Maclaurin para é essa soma infinita.
Passo 5
Agora, precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, usamos o critério da razão, que nos ajuda a verificar para quais valores de a série converge.
Aplicando o critério da razão:
Como o limite é 0, a série converge para todo o valor de . Portanto, o intervalo de convergência é .