Prove que lim x x0 f(x)=L Leftrightarrow lim x x0[f(x)-L]=0 Leftrightarrow lim x x0|f(x)-L|=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que três formas de escrever o limite são equivalentes. O enunciado diz:
limx x0 f(x) = L Leftrightarrow limx x0 [f(x)-L] = 0 Leftrightarrow limx x0 |f(x)-L| = 0
Isso significa que se um desses limites for verdadeiro, os outros também serão. Para provar isso, vamos dividir em duas partes principais:
  1. Mostrar que limx x0 f(x) = L é o mesmo que limx x0 [f(x)-L] = 0.
  2. Mostrar que limx x0 [f(x)-L] = 0 é o mesmo que limx x0 |f(x)-L| = 0.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa limx x0 f(x) = L. Isso quer dizer que, à medida que se aproxima de , se aproxima de . Em termos simples, está ficando cada vez mais perto de .

Passo 3

Agora, vamos olhar para . Isso significa que a diferença entre e está se aproximando de zero quando se aproxima de . Ou seja, e estão ficando muito próximos um do outro.

Passo 4

Perceba que dizer que limx x0 f(x) = L é equiva<=nte a limx x0 [f(x)-L] = 0 está se aproximando de é a mesma coisa que dizer que a diferença entre eles está se aproximando de zero. Matemáticamente:
é
Portanto, mostramos que os dois primeiros limites são equivalentes.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda equivalência: e .
A função valor absoluto mede a “distância” entre e . Quando essa distância se aproxima de zero, significa que está se aproximando de .

Passo 6

Matematicamente, se limx x0 |f(x)-L| = |limx x0 [f(x)-L]| = |0| = 0 , então:
E vice-versa, se , então , porque o valor absoluto não altera o fato de que a diferença está se aproximando de zero.

Resposta

Assim, provamos que:
limx x0 f(x) = L Leftrightarrow limx x0 [f(x)-L] = 0 Leftrightarrow limx x0 |f(x)-L| = 0

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