Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que três formas de escrever o limite são equivalentes. O enunciado diz:
Isso significa que se um desses limites for verdadeiro, os outros também serão. Para provar isso, vamos dividir em duas partes principais:
- Mostrar que
é o mesmo que . - Mostrar que
é o mesmo que .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, à medida que
se aproxima de
,
se aproxima de
. Em termos simples,
está ficando cada vez mais perto de
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para
. Isso significa que a diferença entre
e
está se aproximando de zero quando
se aproxima de
. Ou seja,
e
estão ficando muito próximos um do outro.
Passo 4
Perceba que dizer que
está se aproximando de
é a mesma coisa que dizer que a diferença entre eles está se aproximando de zero. Matemáticamente:
Portanto, mostramos que os dois primeiros limites são equivalentes.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda equivalência:
e
.
A função valor absoluto
mede a “distância” entre
e
. Quando essa distância se aproxima de zero, significa que
está se aproximando de
.
Passo 6
Matematicamente, se
, então:
E vice-versa, se
, então
, porque o valor absoluto não altera o fato de que a diferença está se aproximando de zero.
Resposta
Assim, provamos que: