Suponha que f seja uma função que satisfaça a equação
f(x+y)=f(x)+f(y)+x^2 y+x y^2
para todos os números reais x e y. Suponha também que
lim x 0 f(x)x=1
Encontre f(0);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que satisfaz a equação para todos os números reais e . Além disso, sabe-se que . Nosso objetivo aqui é descobrir o valor de .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções e limites. Vamos seguir passo a passo para não deixar nenhuma dúvida!

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o que acontece quando colocamos f(0 + 0) = f(0) + f(0) + 0^2 cdot 0 + 0 cdot 0^2 e f(0) = f(0) + f(0) + 0 + 0 na equação dada. Isso vai nos ajudar a encontrar uma relação para f(0) = 2 f(0) .
Substituindo e na equação , temos:
Simplificando:
Que fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação f(0) - f(0) = 2 f(0) - f(0) para encontrar 0 = f(0) .
Subtraindo de ambos os lados:
Isso simplifica para:

Passo 4

E aí está! Encontramos que . Isso significa que, para essa função específica que a gente está analisando, o valor de quando o argumento é zero é igual a zero.

Resposta

O valor de é .

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