Calcule.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve cálculo de limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões e aplicar regras de limites, como a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de
. Substituindo
:
Então, temos uma forma indeterminada
, o que nos permite aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se
ou
, então:
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 4
Derivando o numerador
:
A derivada de
é
. Aqui,
, então
. Portanto:
Derivando o denominador
:
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão obtida:
Sabemos que
, então:
Resposta
O limite vale
.