Calcule.
  1. lim x a tg(x^2-a^2)x-a

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve cálculo de limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões e aplicar regras de limites, como a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando x^2 - a^2 = a^2 - a^2 = 0 se aproxima de tg(0) = 0 . Substituindo x - a = 0 :
Então, temos uma forma indeterminada , o que nos permite aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x) ou , então:
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Derivando o numerador ddx tg(x^2 - a^2) = sec^2(x^2 - a^2) cdot 2x :
A derivada de ddx (x - a) = 1 é . Aqui, , então . Portanto:
Derivando o denominador :

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital:
lim x a tg(x^2-a^2)x-a = limx to a sec^2(x^2 - a^2) cdot 2x1 = limx to a 2x cdot sec^2(x^2 - a^2)

Passo 6

Agora, substituímos 2a cdot sec^2(a^2 - a^2) = 2a cdot sec^2(0) na expressão obtida:
2a cdot 1^2 = 2a
Sabemos que , então:

Resposta

O limite vale .

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