Calcule
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de limites e as expansões em série de Taylor das funções trigonométricas envolvidas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar das expansões em série de Taylor para
e
próximas de
.
Para
:
Para
:
Passo 3
Vamos expandir
usando a série de Taylor de
:
Para simplificar, vamos considerar apenas os termos até
:
Passo 4
Agora, vamos expandir
usando a série de Taylor:
Novamente, consideramos apenas os termos até
:
Passo 5
Substituindo as expansões de
e
no numerador da expressão original:
Passo 6
Para o denominador
, usamos a aproximação de
:
Elevando ao cubo:
Como
, podemos ignorar os termos de ordem superior, então:
Passo 7
Substituindo as aproximações no limite:
Aqui, vemos que o termo
tende ao infinito quando
se aproxima de 0, mas como estamos lidando com uma aproximação, precisamos considerar termos de ordem superior na expansão para obter um resultado finito.
Passo 8
Vamos refinar as expansões considerando mais termos. Expandindo
e
até
:
Substituindo novamente no numerador:
E no denominador:
Agora, substituindo no limite:
Ainda observamos o termo
tendendo ao infinito, indicando que precisamos uma abordagem diferente.
Passo 9
Vamos usar a Regra de L’Hospital, já que o limite está na forma
.
Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Aplicando a Regra de L’Hospital:
Passo 10
Avaliando o limite:
Quando
,
e
Então, o numerador aproxima-se de:
E o denominador aproxima-se de:
Novamente, obtemos uma forma indeterminada
, mas dessa vez indicando que o limite tende ao infinito. Contudo, isso sugere que nossa aplicação da Regra de L’Hospital precisa ser feita novamente ou uma abordagem alternativa.
Passo 11
Aplicando a Regra de L’Hospital novamente:
Derivadas do numerador:
Derivadas do denominador:
Aplicando novamente:
Passo 12
Avaliando o limite quando
:
Substituindo:
Quando
:
Resposta
O limite é
.
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e
.
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.
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