Calcule

Passo 1

Vamos calcular o limite . Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de limites e as expansões em série de Taylor das funções trigonométricas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar das expansões em série de Taylor para e próximas de .
Para :
Para :

Passo 3

Vamos expandir usando a série de Taylor de :
Para simplificar, vamos considerar apenas os termos até :

Passo 4

Agora, vamos expandir usando a série de Taylor:
Novamente, consideramos apenas os termos até :

Passo 5

Substituindo as expansões de e no numerador da expressão original:

Passo 6

Para o denominador , usamos a aproximação de :
Elevando ao cubo:
Como , podemos ignorar os termos de ordem superior, então:

Passo 7

Substituindo as aproximações no limite:
Aqui, vemos que o termo tende ao infinito quando se aproxima de 0, mas como estamos lidando com uma aproximação, precisamos considerar termos de ordem superior na expansão para obter um resultado finito.

Passo 8

Vamos refinar as expansões considerando mais termos. Expandindo e até :
Substituindo novamente no numerador:
E no denominador:
Agora, substituindo no limite:
Ainda observamos o termo tendendo ao infinito, indicando que precisamos uma abordagem diferente.

Passo 9

Vamos usar a Regra de L’Hospital, já que o limite está na forma .
Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Aplicando a Regra de L’Hospital:

Passo 10

Avaliando o limite:
Quando ,
e
Então, o numerador aproxima-se de:
E o denominador aproxima-se de:
Novamente, obtemos uma forma indeterminada , mas dessa vez indicando que o limite tende ao infinito. Contudo, isso sugere que nossa aplicação da Regra de L’Hospital precisa ser feita novamente ou uma abordagem alternativa.

Passo 11

Aplicando a Regra de L’Hospital novamente:
Derivadas do numerador:
Derivadas do denominador:
Aplicando novamente:

Passo 12

Avaliando o limite quando :
Substituindo:
Quando :

Resposta

O limite é .

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.
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