Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) com condições iniciais. A equação é:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação a , e é a função degrau unitário que “liga” em . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de EDOs lineares, solução geral da equação homogênea e solução particular para a parte não homogênea da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial comum cujo comportamento é bem conhecido. A solução geral dessa equação homogênea é uma combinação linear das funções seno e cosseno:
Onde e são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito da equação é uma função degrau unitário que ativa em , podemos usar a transformada de Laplace para facilitar a resolução. A transformada de Laplace nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.

Passo 4

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, temos:
Sabemos que:
E:
E também:

Passo 5

Substituindo na equação transformada, fica:
Simplificando:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar . Vamos separar os termos:
  1. Para , sabemos que a transformada inversa é .
  2. Para , isso corresponde a um deslocamento no tempo devido ao termo . A transformada inversa será .
Então, juntando tudo:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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Calcule
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    Resp: a) c) 0,842
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