Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) com condições iniciais. A equação é:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação a
, e
é a função degrau unitário que “liga” em
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de EDOs lineares, solução geral da equação homogênea e solução particular para a parte não homogênea da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial comum cujo comportamento é bem conhecido. A solução geral dessa equação homogênea é uma combinação linear das funções seno e cosseno:
Onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito da equação é uma função degrau unitário que ativa em
, podemos usar a transformada de Laplace para facilitar a resolução. A transformada de Laplace nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.
Passo 4
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, temos:
Sabemos que:
E:
E também:
Passo 5
Substituindo na equação transformada, fica:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar
. Vamos separar os termos:
- Para
, sabemos que a transformada inversa é . - Para
, isso corresponde a um deslocamento no tempo devido ao termo . A transformada inversa será .
Então, juntando tudo:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
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Calcule
- Uma esfera de plástico oca é mantida submersa em um lago de água doce amarrada a uma corda presa no fundo do lago. O volume da esfera é igual a
, e a tensão na corda é igual a 1.120 N . (a) Calcule a força de empuxo exercida pela água sobre a esfera. (b) Qual é a massa da esfera? © A corda se rompe e a esfera sobe até a superfície. Quando ela atinge o equilíbrio, qual é a fração do volume da esfera que fica submersa?
Resp: a)c) 0,842
Mostre que
e calcule as transformadas de Laplace.
Na estrutura básica de um cristal CsCl (cloreto de césio), os íons de césio formam os cantos de um cubo e o íon de cloro fica no centro do cubo. Os lados do cubo têm
. Cada íons de césio é deficiente por um elétron e o íon de cloro tem um elétron excedente. a) Qual a magnitude do campo elétrico no ponto onde está o íon de cloro, devido aos íons de césio que formam o cubo? b) Se um dos íons de césio estiver faltando, dizemos que o cristal tem um defeito. Qual é a magnitude do campo eletrostático na posição do íon de cloro devido aos 7 íons de césio remanescentes? c) Qual a força (em magnitude e orientação) exercida sobre o íon de cloro?