Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) com condições iniciais. A equação é:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação a
, e
é a função degrau unitário que “liga” em
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de EDOs lineares, solução geral da equação homogênea e solução particular para a parte não homogênea da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial comum cujo comportamento é bem conhecido. A solução geral dessa equação homogênea é uma combinação linear das funções seno e cosseno:
Onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito da equação é uma função degrau unitário que ativa em
, podemos usar a transformada de Laplace para facilitar a resolução. A transformada de Laplace nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.
Passo 4
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, temos:
Sabemos que:
E:
E também:
Passo 5
Substituindo na equação transformada, fica:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar
. Vamos separar os termos:
- Para
, sabemos que a transformada inversa é . - Para
, isso corresponde a um deslocamento no tempo devido ao termo . A transformada inversa será .
Então, juntando tudo:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: