Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
y^prime prime+y=u3 pi(t) ; y(0)=1, y^prime(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) com condições iniciais. A equação é:
y'' + y = u3pi(t) ; y(0) = 1, y'(0) = 0
Aqui, y'' representa a segunda derivada de y em relação a t, e u3pi(t) é a função degrau unitário que “liga” em t = 3pi. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de EDOs lineares, solução geral da equação homogênea e solução particular para a parte não homogênea da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y'' + y = 0
Essa é uma equação diferencial comum cujo comportamento é bem conhecido. A solução geral dessa equação homogênea é uma combinação linear das funções seno e cosseno:
yh(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t)
Onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
y'' + y = u3pi(t)
Como o lado direito da equação é uma função degrau unitário que ativa em t = 3pi, podemos usar a transformada de Laplace para facilitar a resolução. A transformada de Laplace nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.

Passo 4

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, temos:
Ly'' + Ly = Lu3pi(t)
Sabemos que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
E:
Ly = Y(s)
E também:
Lu3pi(t) = e^-3pi ss

Passo 5

Substituindo na equação transformada, fica:
s^2 Y(s) - s cdot 1 - 0 + Y(s) = e^-3pi ss
Simplificando:
(s^2 + 1) Y(s) - s = e^-3pi ss
Resolvendo para Y(s):
Y(s) = ss^2 + 1 + e^-3pi ss(s^2 + 1)

Passo 6

Agora, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar y(t). Vamos separar os termos:
  1. Para ss^2 + 1, sabemos que a transformada inversa é cos(t).
  2. Para e^-3pi ss(s^2 + 1), isso corresponde a um deslocamento no tempo devido ao termo e^-3pi s. A transformada inversa será u(t - 3pi) cdot sin(t - 3pi)1.
Então, juntando tudo:
y(t) = cos(t) + u(t - 3pi) sin(t - 3pi)

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
y(t) = cos(t) + u(t - 3pi) sin(t - 3pi)

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