Mostre que
e calcule as transformadas de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício que pede para a gente mostrar uma relação envolvendo a transformada de Laplace de uma função dividida por
. Além disso, precisamos calcular a transformada de Laplace de
. Vamos usar os conceitos de transformada de Laplace e integração para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. É uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo
para o domínio da frequência
. A transformada de Laplace de uma função
é definida por:
Passo 3
Agora, queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar uma propriedade das transformadas de Laplace que relaciona a divisão por
no domínio do tempo com a integração no domínio da frequência.
Passo 4
Começamos aplicando a definição da transformada de Laplace na função
:
Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Vamos chamar
. Com isso, podemos reescrever a transformada da função dividida por
como uma integral de
em relação a
:
Isso mostra a relação que queríamos provar.
Passo 5
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de
. Sabemos que:
Então, aplicando a relação que mostramos:
Essa integral é conhecida e resulta em:
Portanto:
Resposta
Exercícios relacionados
Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
.
Calcule
Na estrutura básica de um cristal CsCl (cloreto de césio), os íons de césio formam os cantos de um cubo e o íon de cloro fica no centro do cubo. Os lados do cubo têm
. Cada íons de césio é deficiente por um elétron e o íon de cloro tem um elétron excedente. a) Qual a magnitude do campo elétrico no ponto onde está o íon de cloro, devido aos íons de césio que formam o cubo? b) Se um dos íons de césio estiver faltando, dizemos que o cristal tem um defeito. Qual é a magnitude do campo eletrostático na posição do íon de cloro devido aos 7 íons de césio remanescentes? c) Qual a força (em magnitude e orientação) exercida sobre o íon de cloro?
Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado.
, onde
.