Mostre que
e calcule as transformadas de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício que pede para a gente mostrar uma relação envolvendo a transformada de Laplace de uma função dividida por
. Além disso, precisamos calcular a transformada de Laplace de
. Vamos usar os conceitos de transformada de Laplace e integração para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. É uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo
para o domínio da frequência
. A transformada de Laplace de uma função
é definida por:
Passo 3
Agora, queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar uma propriedade das transformadas de Laplace que relaciona a divisão por
no domínio do tempo com a integração no domínio da frequência.
Passo 4
Começamos aplicando a definição da transformada de Laplace na função
:
Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Vamos chamar
. Com isso, podemos reescrever a transformada da função dividida por
como uma integral de
em relação a
:
Isso mostra a relação que queríamos provar.
Passo 5
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de
. Sabemos que:
Então, aplicando a relação que mostramos:
Essa integral é conhecida e resulta em:
Portanto: