Mostre que e calcule as transformadas de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício que pede para a gente mostrar uma relação envolvendo a transformada de Laplace de uma função dividida por . Além disso, precisamos calcular a transformada de Laplace de . Vamos usar os conceitos de transformada de Laplace e integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. É uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência . A transformada de Laplace de uma função é definida por:

Passo 3

Agora, queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar uma propriedade das transformadas de Laplace que relaciona a divisão por no domínio do tempo com a integração no domínio da frequência.

Passo 4

Começamos aplicando a definição da transformada de Laplace na função :
Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Vamos chamar . Com isso, podemos reescrever a transformada da função dividida por como uma integral de em relação a :
Isso mostra a relação que queríamos provar.

Passo 5

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de . Sabemos que:
Então, aplicando a relação que mostramos:
Essa integral é conhecida e resulta em:
Portanto:

Resposta

Exercícios relacionados

Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
.
Calcule
Na estrutura básica de um cristal CsCl (cloreto de césio), os íons de césio formam os cantos de um cubo e o íon de cloro fica no centro do cubo. Os lados do cubo têm . Cada íons de césio é deficiente por um elétron e o íon de cloro tem um elétron excedente. a) Qual a magnitude do campo elétrico no ponto onde está o íon de cloro, devido aos íons de césio que formam o cubo? b) Se um dos íons de césio estiver faltando, dizemos que o cristal tem um defeito. Qual é a magnitude do campo eletrostático na posição do íon de cloro devido aos 7 íons de césio remanescentes? c) Qual a força (em magnitude e orientação) exercida sobre o íon de cloro?
Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado. , onde .