Mostre que Lf(t)t=integrals^+infty F(u) d u e calcule as transformadas de Laplace. Lsen(t)t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício que pede para a gente mostrar uma relação envolvendo a transformada de Laplace de uma função dividida por . Além disso, precisamos calcular a transformada de Laplace de . Vamos usar os conceitos de transformada de Laplace e integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. É uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo Lf(t) = F(s) = integral0^+infty e^-st f(t) , dt para o domínio da frequência . A transformada de Laplace de uma função é definida por:

Passo 3

Agora, queremos mostrar que:
Lf(t)t = integrals^+infty F(u) , du
Para isso, vamos usar uma propriedade das transformadas de Laplace que relaciona a divisão por no domínio do tempo com a integração no domínio da frequência.

Passo 4

Começamos aplicando a definição da transformada de Laplace na função Lf(t)t = integral0^+infty e^-st f(t)t , dt :
Lf(t)t = integrals^+infty F(u) , du
Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Vamos chamar . Com isso, podemos reescrever a transformada da função dividida por como uma integral de em relação a :
Isso mostra a relação que queríamos provar.

Passo 5

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de Lsin(t) = 1s^2 + 1 . Sabemos que:
Lsin(t)t = integrals^+infty 1u^2 + 1 , du
Então, aplicando a relação que mostramos:
integral 1u^2 + 1 , du = tan^-1(u)
Essa integral é conhecida e resulta em:
Lsin(t)t = [ tan^-1(u) ]s^+infty = pi2 - tan^-1(s)
Portanto:

Resposta

Lsin(t)t = pi2 - tan^-1(s)

Exercícios relacionados