Calcule. lim x 0 tg xx

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos calcular o limite de uma função quando x se aproxima de 0. O conteúdo aqui é sobre limites e a função que estamos trabalhando é tg xx. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a tangente ( tg x ou tan x) é definida. A tangente de um ângulo é a razão entre o seno e o cosseno: tg x = sin xcos x. Então, podemos reescrever nossa função:
tg xx = sin xcos xx = sin xx cdot cos x
Assim, agora temos que calcular o limite de sin xx cdot cos x quando x se aproxima de 0.

Passo 3

Um resultado importante sobre limites é que limx 0 sin xx = 1. Isso significa que, quando x tende a 0, a razão entre sin x e x se aproxima de 1.
Agora, para o cos x, sabemos que cos 0 = 1. Quando x se aproxima de 0, cos x também se aproxima de 1. Então, podemos juntar tudo:
limx 0 sin xx cdot cos x = limx 0 sin xx cdot limx 0 1cos x = 1 cdot 11 = 1

Resposta

Portanto, o limite lim x 0 tg xx é igual a 1.

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