Calcule.
e) lim x 0 3^x+4-81x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Essa questão envolve o conteúdo de Limites em cálculo, mais especificamente, limites que envolvem funções exponenciais. Vamos precisar entender como trabalhar com exponenciais e aplicar algumas regras de limites para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 3^x+4 = 3^4 cdot 3^x = 81 cdot 3^x . Podemos reescrever isso como , já que .
Então, temos:

Passo 3

Substituindo de volta na expressão original, ficamos com:
limx 0 81 cdot 3^x - 81x
Podemos fatorar o 81:
limx 0 81 (3^x - 1)x

Passo 4

Agora, vamos focar no limite limx 0 a^x - 1x = ln a . Esse tipo de limite é conhecido e sabemos que:
limx 0 3^x - 1x = ln 3
onde é uma constante positiva.
No nosso caso, , então:

Passo 5

Voltando à nossa expressão original, temos:
81 cdot limx 0 3^x - 1x = 81 cdot ln 3

Resposta

O valor do limite é .

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