Seja
uma função não identicamente nula que cumpre a seguinte relação:
.
(a) Se
for diferenciável, então
, onde
é constante.
(b) Se
for contínua, então
, onde
é constante.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que não é a função zero e que satisfaz a relação
para todo
e
reais. Nosso objetivo é mostrar que, se
for diferenciável ou contínua, então ela tem que ser da forma
, onde
é uma constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais, propriedades de funções diferenciáveis e contínuas, e um pouco de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação
está nos dizendo. Essa é uma propriedade característica das funções exponenciais. Se a gente pensar em
, de fato temos:
Então, isso já sugere que a solução deve ser uma função exponencial. Mas precisamos provar isso rigorosamente.
Passo 3
Vamos assumir que
é diferenciável. A diferença chave aqui é que, se
é diferenciável, podemos usar derivadas para encontrar
. Vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
:
Isso nos dá:
Agora, vamos fixar
. Sabemos que
deve ser igual a 1, porque:
Então, substituindo
:
Isso não nos dá nova informação, então vamos derivar em relação a
e depois fixar
:
Fixando
:
Isso é uma equação diferencial:
onde
.
Passo 4
A equação diferencial
é bem conhecida e sua solução geral é:
Mas, como sabemos que
, substituindo
:
Portanto, a solução é:
Passo 5
Agora, vamos tratar do caso em que
é contínua. A continuidade é suficiente para garantir que a única solução para a equação funcional
seja da forma exponencial. O argumento é semelhante ao caso diferenciável, mas sem precisar usar derivadas. A continuidade nos permite aplicar o logaritmo e seguir um caminho similar para chegar à conclusão de que
.
Resposta
Em ambos os casos, se
é diferenciável ou contínua, então
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Calcule os limites a seguir.
c)
c)
Calcule.
e)
e)
Seja
uma função diferenciável
, com
. Prove que
Calcule os limites a seguir.
c)
c)