Seja uma função não identicamente nula que cumpre a seguinte relação: .
(a) Se for diferenciável, então , onde é constante.
(b) Se for contínua, então , onde é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que não é a função zero e que satisfaz a relação para todo e reais. Nosso objetivo é mostrar que, se for diferenciável ou contínua, então ela tem que ser da forma , onde é uma constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais, propriedades de funções diferenciáveis e contínuas, e um pouco de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo. Essa é uma propriedade característica das funções exponenciais. Se a gente pensar em , de fato temos:
Então, isso já sugere que a solução deve ser uma função exponencial. Mas precisamos provar isso rigorosamente.

Passo 3

Vamos assumir que é diferenciável. A diferença chave aqui é que, se é diferenciável, podemos usar derivadas para encontrar . Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a :
Isso nos dá:
Agora, vamos fixar . Sabemos que deve ser igual a 1, porque:
Então, substituindo :
Isso não nos dá nova informação, então vamos derivar em relação a e depois fixar :
Fixando :
Isso é uma equação diferencial:
onde .

Passo 4

A equação diferencial é bem conhecida e sua solução geral é:
Mas, como sabemos que , substituindo :
Portanto, a solução é:

Passo 5

Agora, vamos tratar do caso em que é contínua. A continuidade é suficiente para garantir que a única solução para a equação funcional seja da forma exponencial. O argumento é semelhante ao caso diferenciável, mas sem precisar usar derivadas. A continuidade nos permite aplicar o logaritmo e seguir um caminho similar para chegar à conclusão de que .

Resposta

Em ambos os casos, se é diferenciável ou contínua, então , onde é uma constante.

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Calcule os limites a seguir.
c)
Calcule.
e)
Seja uma função diferenciável , com . Prove que
Calcule os limites a seguir.
c)